P2605 [ZJOI2010]基站选址
时间:2022-05-08
本文章向大家介绍P2605 [ZJOI2010]基站选址,主要内容包括题目描述、输入输出格式、输入输出样例、说明、基本概念、基础应用、原理机制和需要注意的事项等,并结合实例形式分析了其使用技巧,希望通过本文能帮助到大家理解应用这部分内容。
题目描述
有N个村庄坐落在一条直线上,第i(i>1)个村庄距离第1个村庄的距离为Di。需要在这些村庄中建立不超过K个通讯基站,在第i个村庄建立基站的费用为Ci。如果在距离第i个村庄不超过Si的范围内建立了一个通讯基站,那么就村庄被基站覆盖了。如果第i个村庄没有被覆盖,则需要向他们补偿,费用为Wi。现在的问题是,选择基站的位置,使得总费用最小。
输入输出格式
输入格式:
输入文件的第一行包含两个整数N,K,含义如上所述。
第二行包含N-1个整数,分别表示D2,D3,…,DN ,这N-1个数是递增的。
第三行包含N个整数,表示C1,C2,…CN。
第四行包含N个整数,表示S1,S2,…,SN。
第五行包含N个整数,表示W1,W2,…,WN。
输出格式:
输出文件中仅包含一个整数,表示最小的总费用。
输入输出样例
输入样例#1:
3 2
1 2
2 3 2
1 1 0
10 20 30
输出样例#1:
4
说明
40%的数据中,N<=500;
100%的数据中,K<=N,K<=100,N<=20,000,Di<=1000000000,Ci<=10000,Si<=1000000000,Wi<=10000。
- 记f[i][j]f[i][j]表示在第ii个村庄修建第jj个基站且不考虑第i + 1i+1~nn个村庄所需的最小费用。
- 则转移方程为f[i][j] = Min(f[k][j - 1] + cst[k][i]) + c[i](j - 1 le k < i)f[i][j]=Min(f[k][j−1]+cst[k][i])+c[i](j−1≤k<i)。其中cst[k][i]cst[k][i]表示第ii~kk个村庄之间没有被基站i, ki,k覆盖的村庄所需的赔偿费用,计算费用的复杂度为O(n)O(n),则总复杂度为O(n^2k)O(n2k)。
- 这样显然是不能通过的,我们考虑如何优化:
- 首先我们发现之前的转移方程可以去掉一维jj,实际上只要在最外层枚举jj就可以了,也就是f[i] = Min(f[k] + cst[k][i]) + c[i](j - 1 le k < i)f[i]=Min(f[k]+cst[k][i])+c[i](j−1≤k<i)。
- 而主要的消耗在计算cst[k][i]cst[k][i]上,也就是有多少个村庄需要赔偿。
- 对于任意一个村庄ii,记它所能被覆盖的左右边界st[i], ed[i]st[i],ed[i](最左端、最右端可以覆盖到ii的基站位置,可用二分查找处理),然后在用邻接表记录eded值为ii的村庄有哪些,在这些村庄之前建立基站就覆盖不到ii了。
- 这样当我们推导i + 1i+1时,若从村庄11~st[k] - 1(ed[k] = i)st[k]−1(ed[k]=i)转移过来则必定要赔偿村庄kk的费用,我们就可以考虑用线段树来维护f[k] + cst[k][i]f[k]+cst[k][i]的值,即在区间[1, st[k] - 1][1,st[k]−1]加上村庄kk的费用,而转移即在区间[1, i - 1][1,i−1]找f[k] + cst[k][i]f[k]+cst[k][i]的最小值,总复杂度为O(nlogn times k)O(nlogn×k)。
但是不知道为什么怎么调都不对,。。。
1 #include<iostream>
2 #include<cstdio>
3 #include<cstring>
4 #include<cmath>
5 #include<cstring>
6 #include<algorithm>
7 #include<queue>
8 #define INF 0x7ffff
9 #define ls k<<1
10 #define rs k<<1|1
11 using namespace std;
12 const int MAXN=4e4+5;
13 inline void read(int &n)
14 {
15 char c='+';bool flag=0;n=0;
16 while(c<'0'||c>'9'){c=getchar();if(c=='-')flag=1;}
17 while(c>='0'&&c<='9')n=n*10+c-48,c=getchar();
18 }
19 struct node
20 {
21 int u,v,nxt;
22 }edge[MAXN];
23 int head[MAXN];
24 int num=1;
25 inline void add_edge(int x,int y)
26 {
27 edge[num].u=x;
28 edge[num].v=y;
29 edge[num].nxt=head[x];
30 head[x]=num++;
31 }
32 struct T
33 {
34 int l,r,w,tag;
35 }tree[MAXN];
36 int n,k;
37 int D[MAXN];
38 int C[MAXN];
39 int S[MAXN];
40 int W[MAXN];
41 int st[MAXN];
42 int ed[MAXN];
43 int dp[MAXN];// 修建了i个基站的费用
44 int ans;
45 inline void update(int k)
46 {
47 tree[k].w=min(tree[ls].w,tree[rs].w);
48 }
49 inline void pushdown(int k)
50 {
51 if(!tree[k].tag) return ;
52 tree[ls].w+=tree[k].tag;
53 tree[ls].tag+=tree[k].tag;
54 tree[rs].w+=tree[k].tag;
55 tree[rs].w+=tree[k].tag;
56 tree[k].tag=0;
57 }
58 inline void Build_Tree(int k,int ll,int rr)
59 {
60 tree[k].tag=0;
61 tree[k].l=ll;tree[k].r=rr;
62 if(ll==rr)
63 {
64 tree[k].w=dp[ll];
65 return ;
66 }
67 int mid=(ll+rr)>>1;
68 Build_Tree(ls,ll,mid);Build_Tree(rs,mid+1,rr);
69 update(k);
70 }
71 inline int query(int k,int ql,int qr)
72 {
73 if(tree[k].l==ql&&tree[k].r==qr)
74 return tree[k].w;
75 pushdown(k);
76 int mid=(tree[k].l+tree[k].r)>>1;
77 if(qr<=mid) return query(ls,ql,qr);
78 else if(ql>mid) return query(rs,ql,qr);
79 else return min(query(ls,ql,mid),
80 query(rs,mid+1,qr));
81 }
82 inline void change(int k,int ql,int qr,int val)
83 {
84 if(tree[k].l==ql&&tree[k].r==qr)
85 {
86 tree[k].w+=val,tree[k].tag+=val;return ;
87 }
88 pushdown(k);
89 int mid=(tree[k].l+tree[k].r)>>1;
90 if(qr<=mid) change(ls,ql,qr,val);
91 else if(ql>mid) change(rs,ql,qr,val);
92 else
93 {
94 change(ls,ql,mid,val);
95 change(rs,mid+1,qr,val);
96 }
97 update(k);
98 }
99 int main()
100 {
101 freopen("base.in","r",stdin);
102 freopen("base.out","w",stdout);
103 read(n);read(k);k++;
104 memset(head,-1,sizeof(head));
105 for(int i=2;i<=n;i++) read(D[i]);
106 for(int i=1;i<=n;i++) read(C[i]);
107 for(int i=1;i<=n;i++) read(S[i]);
108 for(int i=1;i<=n;i++) read(W[i]);
109 ++n;D[n]=W[n]=INF;
110 for(int i=1;i<=n;i++)
111 {
112 st[i]=lower_bound(D+1,D+n+1,D[i]-S[i])-D;
113 ed[i]=lower_bound(D+1,D+n+1,D[i]+S[i])-D;
114 if(D[ed[i]]>S[i]+D[i]) ed[i]--;
115 add_edge(ed[i],i);
116 }
117
118 for(int i=1;i<=k;i++)
119 {
120 if(i==1)
121 {
122 int now=0;
123 for(int k=1;k<=n;k++)
124 {
125 dp[k]=now+C[k];
126 for(int j=head[k];j!=-1;j=edge[j].nxt)
127 {
128 //cout<<edge[j].v<<" "<<W[edge[j].v]<<endl;
129 if(W[edge[j].v]==INF)continue;
130 now+=W[edge[j].v];
131 }
132
133 }
134 ans=dp[n];
135 }
136 else
137 {
138 Build_Tree(1,1,n);int y;
139 // for(int ii=1;ii<=10;ii++)
140 // cout<<tree[ii].w<<" ";
141 // cout<<endl;
142 for(int j=1;j<=n;j++)
143 {
144 dp[j]= ((j>(i-1)) ? query(1,i-1,j-1) : 0 )+ C[j];
145 for(int k=head[j];k!=-1;k=edge[k].nxt)
146 if(st[y=edge[k].v]>1)
147 change(1,1,st[y]-1,W[y]);
148 }
149 ans=min(ans,dp[n]);
150 }
151 }
152 printf("%d",ans);
153 return 0;
154 }
本代码来自:https://www.luogu.org/wiki/show?name=%E9%A2%98%E8%A7%A3+P2605
1 #include <iostream>
2 #include <cstdio>
3 #include <cstring>
4 #include <algorithm>
5 #define sL (s << 1)
6 #define sR (s << 1 | 1)
7
8 using namespace std;
9 const int Maxn = 0x3f3f3f3f;
10 const int N = 2e4 + 5, M = N << 2;
11 int d[N], c[N], w[N], s[N], st[N], ed[N], f[N];
12 int n, k, Ans, val[M], tag[M];
13
14 struct point
15 {
16 int to; point *nxt;
17 }a[M], *T = a, *lst[N];
18
19 inline void addEdge(const int &x, const int &y) {T->nxt = lst[x]; T->to = y; lst[x] = T++;}
20 template <class T> inline T Min(const T &a, const T &b) {return a < b? a : b;}
21 template <class T> inline void CkMin(T &a, const T &b) {if (a > b) a = b;}
22
23 inline int get()
24 {
25 char ch; bool f = false; int res = 0;
26 while (((ch = getchar()) < '0' || ch > '9') && ch != '-');
27 if (ch == '-') f = true;
28 else res = ch - '0';
29 while ((ch = getchar()) >='0' && ch <= '9')
30 res = (res << 3) + (res << 1) + ch - '0';
31 return f? ~res + 1 : res;
32 }
33
34 inline void put(int x)
35 {
36 if (x < 0)
37 x = ~x + 1, putchar('-');
38 if (x > 9) put(x / 10);
39 putchar(x % 10 + 48);
40 }
41
42 inline void Push(const int &s) {val[s] = Min(val[sL], val[sR]);}
43 inline void Add(const int &s, const int &z)
44 {val[s] += z; tag[s] += z;}
45
46 inline void Down(const int &s)
47 {
48 if (!tag[s]) return ;
49 Add(sL, tag[s]); Add(sR, tag[s]); tag[s] = 0;
50 }
51
52 inline void Build(const int &s, const int &l, const int &r)
53 {
54 tag[s] = 0;
55 if (l == r) return (void)(val[s] = f[l]);
56 int mid = l + r >> 1;
57 Build(sL, l, mid); Build(sR, mid + 1, r);
58 Push(s);
59 }
60
61 inline int Query(const int &s, const int &l, const int &r, const int &x, const int &y)
62 {
63 if (l == x && r == y) return val[s];
64 Down(s); int mid = l + r >> 1;
65 if (y <= mid) return Query(sL, l, mid, x, y);
66 else if (x > mid) return Query(sR, mid + 1, r, x, y);
67 else return Min(Query(sL, l, mid, x, mid),
68 Query(sR, mid + 1, r, mid + 1, y));
69 }
70
71 inline void Modify(const int &s, const int &l, const int &r, const int &x, const int &y, const int &z)
72 {
73 if (l == x && r == y) return Add(s, z);
74 Down(s); int mid = l + r >> 1;
75 if (y <= mid) Modify(sL, l, mid, x, y, z);
76 else if (x > mid) Modify(sR, mid + 1, r, x, y, z);
77 else
78 {
79 Modify(sL, l, mid, x, mid, z);
80 Modify(sR, mid + 1, r, mid + 1, y, z);
81 }
82 Push(s);
83 }
84
85 int main()
86 {
87 n = get(); k = get() + 1;
88 for (int i = 2; i <= n; ++i) d[i] = get();
89 for (int i = 1; i <= n; ++i) c[i] = get();
90 for (int i = 1; i <= n; ++i) s[i] = get();
91 for (int i = 1; i <= n; ++i) w[i] = get();
92 ++n; d[n] = w[n] = Maxn;
93 //当我们推导i时,我们只考虑了它和前面的基站产生的影响
94 //这时对于最后一个基站我们不会考虑它和之后的村庄产生的影响
95 //则我们可以在最后增加一个村庄
96 //保证它必定被作为基站(无建设费用)且不对前面产生影响
97 //这样就不会有遗漏的了
98 for (int i = 1; i <= n; ++i)
99 {
100 st[i] = lower_bound(d + 1, d + n + 1, d[i] - s[i]) - d;
101 ed[i] = lower_bound(d + 1, d + n + 1, d[i] + s[i]) - d;
102 if (d[ed[i]] > d[i] + s[i]) ed[i]--; addEdge(ed[i], i);
103 //lower_bound查找的是大于等于x的第一个数
104 //而ed[i]要求的是小于等于x的最后一个数
105 //所以判断一下减一就可以了
106 }
107 for (int i = 1; i <= k; ++i)
108 if (i == 1)
109 {
110 int res = 0;
111 for (int j = 1; j <= n; ++j)
112 {
113 f[j] = res + c[j];
114 for (point *e = lst[j]; e; e = e->nxt)
115 res += w[e->to];
116 }
117 Ans = f[n];
118 }
119 else
120 {
121 Build(1, 1, n); int y;
122 for (int j = 1; j <= n; ++j)
123 {
124 //注意线段树区间的边界条件
125 f[j] = (j > i - 1 ? Query(1, 1, n, i - 1, j - 1) : 0) + c[j];
126 for (point *e = lst[j]; e; e = e->nxt)
127 if (st[y = e->to] > 1) Modify(1, 1, n, 1, st[y] - 1, w[y]);
128 //这里其实只要修改区间[i, st[y] - 1]就行了
129 //不过询问/修改的区间长对于线段树其实更快
130 }
131 CkMin(Ans, f[n]);
132 }
133 return put(Ans), 0;
134 }
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