浅谈差分约束问题

差分约束

差分约束是解决这样一类问题

给出n个形如x[j]-x[i]<=k的式子，求x[n]-x[1]的最大/最小值

思路

其实这个问题是挺套路的

我们把给出的式子变一下

x[j]-x[i]<=k

x[j]<=x[i]+k

我们不难联想到图论中最短路的性质

假设d[x]表示1到x的最短路

那么对于任意一条边(u,v)

有d[v]<=d[u]+k（k表示边权）

可能有些抽象，举个例子

经过计算不难得到三个不等式

  1.(3)                 x3 - x0 <= 8
  2.(2) + (5)           x3 - x0 <= 9
  3.(1) + (4) + (5)     x3 - x0 <= 7

这样的话，我们在满足条件的情况下x[3]-x[0]最大为7

我们按上面的方法建出图

不难发现图中的最短路就是我们想要的答案！

难道这是巧合么?

肯定不是。仔细观察不难发现，我们连边的过程其实就是在转换不等式，求最短路其实就是求最小的限制条件。这样求出来的最短路即为满足条件的最大值

总结

这玩意儿其实挺套路的

如果你找出了题目中的限制条件，直接建图就好

最大值—>把所有式子整理为x[j]-x[i]<=k，从i向j连一条边权为k的边，跑最短路

最小值—>把所有式子整理为x[j]-x[i]>=k，从i向j连一条边权为k的边，跑最长路

在求解的时，因为经常要判断负环，所以选用SPFA算法

当一个点的入队次数超过n时必定出现负环