数据结构和算法——二叉排序树

时间:2022-05-04
本文章向大家介绍数据结构和算法——二叉排序树,主要内容包括一、二叉排序树、二、二叉排序树的基本操作、2、插入、3、删除、4、中序遍历、参考文献、基本概念、基础应用、原理机制和需要注意的事项等,并结合实例形式分析了其使用技巧,希望通过本文能帮助到大家理解应用这部分内容。

一、二叉排序树

对于无序的序列“62,58,88,47,73,99,35,51,93,29,37,49,56,36,48,50”,是否存在一种高效的查找方案,使得能够快速判断在序列中是否存在指定的数值?二叉排序树是一种简单,高效的数据结构。

二叉排序树,又称为二叉查找树。二叉排序树或者是一棵空树,或者是具有以下性质的二叉树:若其左子树不为空,则左子树上的所有节点的值均小于它的根结点的值;若其右子树不为空,则右子树上的所有节点的值均大于它的根结点的值;左右子树又分别是二叉排序树。

对于以上的序列,我们构建如下的二叉排序树,其左子树小于根结点的值,右子树大于根结点的值:

二、二叉排序树的基本操作

二叉排序树的结构为:

typedef struct tree_node{
        double value;
        struct tree_node *left;
        struct tree_node *right;
}*node, binode;

在二叉排序树中,其最主要的特点是其左子树小于其根结点的值,右子树大于根结点的值。

1、查找

二叉排序树的查找是指在二叉排序树中查找到对应的值,如在上述的二叉排序树中查找“49”,其具体过程为:

  • 与根结点的值相比:49<52,查找其左子树
  • 49<58,查找其左子树
  • 49>47,查找其右子树
  • 49<51,查找其左子树
  • 49=49,查找成功

其具体过程如下图所示:

其具体实现过程为:

int search_value(node root, double a, node *p){
        if (NULL == root) {
                return 1; // 查找不成功
        }
        else if (a == root->value) {
                return 0; // 树中已经存在该节点
        }else if (a < root->value) {
                *p = root; // 记录父节点
                return search_value(root->left, a, p); //查找左子树
        }else {
                *p = root;
                return search_value(root->right, a, p); // 查找右子树
        }
}

2、插入

对于插入操作,主要分为两种情况:

  • 若二叉排序树中存在该值,则不做任何操作
  • 若二叉排序树中不存在该值,则插入

插入的具体操作是判断与二叉排序树中节点的值,若小于当前节点的值,则选择左子树插入,若大于当前节点的值,则选择右子树插入;对于左右子树,进行同样的操作。

其实现过程为:

int insert_tree(node *root, double a){
        node p = *root;
        node q = NULL;
        printf("insert: %lfn", a);

        if (search_value(*root, a, &p) == 1) { // 查找树中是否存在a
                q = (binode *)malloc(sizeof(binode)); // 不存在a,申请空间
                q->value = a;
                q->left = q->right = NULL;

                if (*root == NULL){ // 树为空
                        *root = q;
                }else {
                        if (a < p->value){
                                p->left = q; // 插入左子树
                        }else{
                                p->right = q; // 插入右子树
                        }
                }
                return 0;
        }
        return 1;
}

3、删除

二叉排序树中节点的删除操作相比其他的操作就比较复杂一点,首先,通过查找二叉排序树中是否存在节点,若存在,主要分为如下的三种情况:

  • 节点既无左子树,又无右子树

删除的方法:设置父节点指向该节点的指针为空,直接删除该节点。如删除值为“50”的节点:

  • 若删除的节点只包含左子树或者只包含右子树

删除的方法:删除该节点,以其左子树或者右子树代替该节点。如删除值为“58”的节点:

  • 若删除的节点既包含左子树,又包含右子树

删除的方法:

  • 找到待删除的节点,选择其左子树中的最大的节点或者其右子树中最小的节点,这里选择左子树中最大的节点,以删除值为“47”的节点为例:
  • 在左子树中找到最大的节点,根据二叉排序树的特点,值最大的节点要么是根结点(无右子树),要么是最右的节点,在这里,其左子树中最大的节点为“37”,以该节点替换需要删除的节点,即以“37”替换节点“47”,再将该节点的左子树作为其父节点的右子树,即将“36”作为“35”的右子树:

其具体的过程为:

int delete_node(node *root, double a){
        // 判断树中书否存在a
        node p = *root;
        if (search_value(*root, a, &p) == 0){// 存在该节点
                // 开始删除,p指向的删除节点的父节点
                node q = NULL;// q指向要删除的节点
                if (a < p->value){
                        q = p->left;
                }else{
                        q = p->right;
                }

                if (q->left == NULL && q->right == NULL){ //叶子节点,直接删除
                        if (a < p->value) p->left = NULL;
                        else p->right = NULL;
                }else if ((q->left == NULL && q->right != NULL) || (q->left != NULL && q->right == NULL)){
                        // 只有左子树或者只有右子树
                        node r = (q->left == NULL ? q->right : q->left); // 指向q不为空的子树
                        if (a < p->value) p->left = r;
                        else p->right = r;
                }else{ // 既有左子树又有右子树
                        // 这里选择左子树最大的节点作为父节点
                        node r = q->left;
                        // 判断r的右子树是否为空
                        if (r->right == NULL){ // 右子树为空
                                p->left = r;
                                r->right = q->right;
                        }else{ // 右子树不为空
                                node r1 = r;
                                node r1_father = r;
                                // 寻找最右子树
                                while (r1->right != NULL){
                                        r1_father = r1;
                                        r1 = r1->right;
                                }
                                // 此时r1不可能存在右子树
                                r1_father->right = r1->left;
                                r1->left = r;
                                r1->right = q->right;
                                p->left = r1;
                        }
                }
                free(q);
                q = NULL;
                return 0;

        }
        return 1;
}

4、中序遍历

对于二叉排序树,其中序遍历的输出结果正好是排好序的序列,其中序

void in_order(node root){
        node p = root;
        if (p != NULL){
                in_order(p->left);
                fprintf(stderr, "%lfn", p->value);
                in_order(p->right);
        }
}

对于上述的序列“62,58,88,47,73,99,35,51,93,29,37,49,56,36,48,50”其中序遍历的结果为:

删除“47”后的中序遍历的结果为:

参考文献

  • 《大话数据结构》
  • 《数据结构》(C语言版)