一、Logistic回归的概述

Logistic回归是一种简单的分类算法，提到“回归”，很多人可能觉得与分类没什么关系，Logistic回归通过对数据分类边界的拟合来实现分类。而“回归”也就意味着最佳拟合。要进行最佳拟合，则需要寻找到最佳的拟合参数，一些最优化方法就可以用于最佳回归系数的确定。

二、最优化方法确定最佳回归系数

最优化方法有基于梯度的梯度下降法、梯度上升发，改进的随机梯度下降法等等。基于梯度的优化方法在求解问题时，本身对要求解的问题有要求：即问题本身必须是可导的。其次，基于梯度的方法会使得待优化问题陷入局部最优。此时，一些启发式优化方法可以很好的解决这样的问题，但是启发式算法的求解速度较慢，占用内存较大。

对于确定回归系数这样的问题

不存在多峰，也就是说不存在除最优值之外的局部最优值。其次，这样的问题是可求导的，所以基于梯度的方法是可以用来求解回归系数的问题的。优化算法见optimal algorithm类别。

三、Sigmoid函数

当分类边界的函数被表示出来后，可以使用一种被称为海维塞德阶跃函数(Heaviside step function)来处理，简称为单位阶跃函数。其中Sigmoid函数是其中使用较多的一种阶跃函数。Sigmoid函数如下图：

Sigmoid函数的公式为：

当z为0时，函数值为0.5；

四、实验(MATLAB程序)

1、梯度上升法

%%gradient method
function weights = gradient(x, y)
    alpha = 0.001;%Step
    maxCycle = 500;
    [m,n] = size(x);
    weights = ones(n,1);
    for i = 1 : maxCycle
        h = sigmoid(x * weights);
        error = y - h;
        weights = weights + alpha * x' * error;%注意点1
    end
end

2、Sigmoid

%% sigmoid function
function out = sigmoid(x)
    out = 1./(1+exp(-x));
end

3、主程序

%----start-----
data = load('testSet.txt');%导入数据
[m,n] = size(data);%行和列
o = ones(m,1);
dataX = data(:,1:2);
X = [o,dataX];
Y = data(:,3);

%--experiments--
weights = gradient(X,Y);

%% plot the pic
Ypic = X * weights;
x_1 = X(:,2);
x_2 = X(:,3);
hold on
for i = 1 : 100
    if Y(i,:) == 0
        plot(x_1(i,:),x_2(i,:),'.g');
    else
        plot(x_1(i,:),x_2(i,:),'.r');
    end
end
x = -3.0:0.1:3;
y = (-weights(1)-weights(2)*x)/weights(3);%注意点2
plot(x,y);