决策树的python实现

本文结构：

是什么？
有什么算法？
数学原理？
编码实现算法？

1. 是什么？

简单地理解，就是根据一些 feature 进行分类，每个节点提一个问题，通过判断，将数据分为几类，再继续提问。这些问题是根据已有数据学习出来的，再投入新数据的时候，就可以根据这棵树上的问题，将数据划分到合适的叶子上。

2. 有什么算法？

常用的几种决策树算法有ID3、C4.5、CART：

ID3：选择信息熵增益最大的feature作为node，实现对数据的归纳分类。 C4.5：是ID3的一个改进，比ID3准确率高且快，可以处理连续值和有缺失值的feature。 CART：使用基尼指数的划分准则，通过在每个步骤最大限度降低不纯洁度，CART能够处理孤立点以及能够对空缺值进行处理。

3. 数学原理？

ID3: Iterative Dichotomiser 3

参考

下面这个数据集，可以同时被上面两颗树表示，结果是一样的，而我们更倾向于选择简单的树。 那么怎样做才能使得学习到的树是最简单的呢？

下面是 ID3（ Iterative Dichotomiser 3 ）的算法：

例如下面数据集，哪个是最好的 Attribute？

用熵Entropy来衡量： E(S) 是数据集S的熵 i 指每个结果，即 No，Yes的概率

E越大意味着信息越混乱，我们的目标是要让E最小。 E在0-1之间，如果P＋的概率在0.5，此时E最大，这时候说明信息对我们没有明确的意义，对分类没有帮助。

但是我们不仅仅想要变量的E最小，还想要这棵树是 well organized。 所以用到 Gain：信息增益

意思是如果我后面要用这个变量的话，它的E会减少多少。

例如下面的数据集：

先计算四个feature的熵E，及其分支的熵，然后用Gain的公式计算信息增益。

再选择Gain最大的特征是 outlook。
第一层选择出来后，各个分支再继续选择下一层，计算Gain最大的，例如分支 sunny 的下一层节点是 humidity。

详细的计算步骤可以参考这篇博文。

C4.5

参考

ID3有个局限是对于有大量数据的feature过于敏感，C4.5是它的一个改进，通过选择最大的信息增益率 gain ratio 来选择节点。而且它可以处理连续的和有缺失值的数据。

P’ (j/p) is the proportion of elements present at the position p, taking the value of j-th test.

例如 outlook 作为第一层节点后，它有 3 个分支，分别有 5，4，5 条数据，则 SplitInfo(5,4,5) = -5/14log(5,14)-4/14log(4,14)-5/14(5,14) ，其中 log(5,14) 即为 log2(5/14)。

下面是一个有连续值和缺失值的例子：

连续值

第一步计算 Gain，除了连续值的 humudity，其他步骤和前文一样。

要计算 humudity 的 Gain 的话，先把所有值升序排列： {65, 70, 70, 70, 75, 78, 80, 80, 80, 85, 90, 90, 95, 96} 然后把重复的去掉： {65, 70, 75, 78, 80, 85, 90, 95, 96} 如下图所示，按区间计算 Gain，然后选择最大的 Gain (S, Humidity) = 0.102

因为 Gain(S, Outlook) = 0 .246，所以root还是outlook：

缺失值

处理有缺失值的数据时候，用下图的公式：

例如 D12 是不知道的。

计算全集和 outlook 的 info，

其中几个分支的熵如下，再计算出 outlook 的 Gain：

比较一下 ID3 和 C4.5 的准确率和时间：

accuracy ：

execution time：

4. 编码实现算法？

代码可以看《机器学习实战》这本书和这篇博客。

完整代码可以在 github 上查看。

接下来以 C4.5 的代码为例：

** 1. 定义数据：**

def createDataSet():
    dataSet = [[0, 0, 0, 0, 'N'], 
               [0, 0, 0, 1, 'N'], 
               [1, 0, 0, 0, 'Y'], 
               [2, 1, 0, 0, 'Y'], 
               [2, 2, 1, 0, 'Y'], 
               [2, 2, 1, 1, 'N'], 
               [1, 2, 1, 1, 'Y']]
    labels = ['outlook', 'temperature', 'humidity', 'windy']
    return dataSet, labels

** 2. 计算熵：**

def calcShannonEnt(dataSet):
    numEntries = len(dataSet)
    labelCounts = {}
    for featVec in dataSet:
        currentLabel = featVec[-1]
        if currentLabel not in labelCounts.keys():
            labelCounts[currentLabel] = 0
        labelCounts[currentLabel] += 1      # 数每一类各多少个， {'Y': 4, 'N': 3}
    shannonEnt = 0.0
    for key in labelCounts:
        prob = float(labelCounts[key])/numEntries
        shannonEnt -= prob * log(prob, 2)
    return shannonEnt

** 3. 选择最大的gain ratio对应的feature：**

def chooseBestFeatureToSplit(dataSet):
    numFeatures = len(dataSet[0]) - 1                 #feature个数
    baseEntropy = calcShannonEnt(dataSet)             #整个dataset的熵
    bestInfoGainRatio = 0.0
    bestFeature = -1
    for i in range(numFeatures):
        featList = [example[i] for example in dataSet]  #每个feature的list
        uniqueVals = set(featList)                      #每个list的唯一值集合                 
        newEntropy = 0.0
        splitInfo = 0.0
        for value in uniqueVals:
            subDataSet = splitDataSet(dataSet, i, value)  #每个唯一值对应的剩余feature的组成子集
            prob = len(subDataSet)/float(len(dataSet))
            newEntropy += prob * calcShannonEnt(subDataSet)
            splitInfo += -prob * log(prob, 2)
        infoGain = baseEntropy - newEntropy              #这个feature的infoGain
        if (splitInfo == 0): # fix the overflow bug
            continue
        infoGainRatio = infoGain / splitInfo             #这个feature的infoGainRatio      
        if (infoGainRatio > bestInfoGainRatio):          #选择最大的gain ratio
            bestInfoGainRatio = infoGainRatio
            bestFeature = i                              #选择最大的gain ratio对应的feature
    return bestFeature

** 4. 划分数据，为下一层计算准备: **

def splitDataSet(dataSet, axis, value):
    retDataSet = []
    for featVec in dataSet:
        if featVec[axis] == value:                      #只看当第i列的值＝value时的item
            reduceFeatVec = featVec[:axis]              #featVec的第i列给除去
            reduceFeatVec.extend(featVec[axis+1:])
            retDataSet.append(reduceFeatVec)            
    return retDataSet

** 5. 多重字典构建树：**

def createTree(dataSet, labels):
    classList = [example[-1] for example in dataSet]         # ['N', 'N', 'Y', 'Y', 'Y', 'N', 'Y']
    if classList.count(classList[0]) == len(classList):
        # classList所有元素都相等，即类别完全相同，停止划分
        return classList[0]                                  #splitDataSet(dataSet, 0, 0)此时全是N，返回N
    if len(dataSet[0]) == 1:                                 #[0, 0, 0, 0, 'N'] 
        # 遍历完所有特征时返回出现次数最多的
        return majorityCnt(classList)
    bestFeat = chooseBestFeatureToSplit(dataSet)             #0－> 2   
        # 选择最大的gain ratio对应的feature
    bestFeatLabel = labels[bestFeat]                         #outlook -> windy     
    myTree = {bestFeatLabel:{}}                   
        #多重字典构建树{'outlook': {0: 'N'
    del(labels[bestFeat])                                    #['temperature', 'humidity', 'windy'] -> ['temperature', 'humidity']        
    featValues = [example[bestFeat] for example in dataSet]  #[0, 0, 1, 2, 2, 2, 1]     
    uniqueVals = set(featValues)
    for value in uniqueVals:
        subLabels = labels[:]                                #['temperature', 'humidity', 'windy']
        myTree[bestFeatLabel][value] = createTree(splitDataSet(dataSet, bestFeat, value), subLabels)
            # 划分数据，为下一层计算准备
    return myTree

** 6. 可视化决策树的结果: **

dataSet, labels = createDataSet()
labels_tmp = labels[:]
desicionTree = createTree(dataSet, labels_tmp)
treePlotter.createPlot(desicionTree)