递归与分治之棋盘覆盖问题

在一个2^k * 2^k个方格组成的棋盘中,若有一个方格与其他方格不同,则称该方格为一特殊方格,且称该棋盘为一个特殊棋盘。

显然特殊方格在棋盘上出现的位置有4^k种情形.因而对任何k≥0,有4^k种不同的特殊棋盘。

下图所示的特殊棋盘为 k=2 时 16 个特殊棋盘中的一个。

在棋盘覆盖问题中，要用下图中 4 中不同形态的 L 型骨牌覆盖一个给定的特殊棋牌上除特殊方格以外的所有方格，且任何 2 个 L 型骨牌不得重叠覆盖。

易知，在任何一个 2^k * 2^k 的棋盘中，用到的 L 型骨牌个数恰为 (4^k-1)/3 。

求解棋盘问题，可利用分治的策略。当 k>0 时，将 2^k * 2^k 棋盘分割为 4 个 2^(k-1) * 2^(k-1) 子棋盘，如下图所示。

特殊方格必位于 4 个子棋盘之一，其余 3 个子棋盘中无特殊方格。用一个 L 型骨牌覆盖这 3 个较小的棋盘的汇合处，如图所示，将这 3 个无特殊方格的子棋盘转化为特殊棋盘，从而将原问题化为 4 个较小规模的棋盘覆盖问题。递归的使用这种分割，直至棋盘简化为 1x1 棋盘。

python实现代码如下：

 1 # coding =gbk
 2 
 3 
 4 # tr左上角行号，tc左上角列号。dr特殊方格行号，dc特殊方格列号
 5 def chessboard(board, size, tr, tc, dr, dc):
 6     if size <= 1:
 7         return
 8     global tile
 9     tile += 1
10     current_tile = tile
11     size //= 2
12     if dr < tr + size and dc < tc + size:
13         chessboard(board, size, tr, tc, dr, dc)
14     else:
15         board[tr + size - 1][tc + size - 1] = current_tile
16         chessboard(board, size, tr, tc, tr + size - 1, tc + size - 1)
17     if dr >= tr + size and dc < tc + size:
18         chessboard(board, size, tr + size, tc, dr, dc)
19     else:
20         board[tr + size][tc + size - 1] = current_tile
21         chessboard(board, size, tr + size, tc,
22                    tr + size, tc + size - 1)
23     if dr < tr + size and dc >= tc + size:
24         chessboard(board, size, tr, tc + size, dr, dc)
25     else:
26         board[tr + size - 1][tc + size] = current_tile
27         chessboard(board, size, tr, tc + size,
28                    tr + size - 1, tc + size)
29     if dr >= tr + size and dc >= tc + size:
30         chessboard(board, size, tr + size, tc + size, dr, dc)
31     else:
32         board[tr + size][tc + size] = current_tile
33         chessboard(board, size, tr + size, tc + size,
34                    tr + size, tc + size)
35 
36 
37 tile = 0
38 chessboard_size = 4
39 board = [[0 for x in range(chessboard_size)] for y in range(chessboard_size)]
40 chessboard(board, chessboard_size, 0, 0, 1, 0)
41 
42 board = [[row[i] for row in board] for i in range(len(board[0]))]
43 for lst in board:
44     print(lst)