经典算法学习之分治法(以排列、组合程序为例)

分治法的思想：将原问题分解为几个规模较小但类似于原问题的子问题，递归的求解这些子问题，然后再合并这些子问题的解来建立原问题的解。

分治法在每层递归是遵循的三个步骤：

(1)分解原问题为若干个子问题，这些子问题是原问题的规模较小的实例。

(2)解决这些子问题，队规的求解各个子问题，当子问题规模足够小的时候，直接求解。

(3)合并这些子问题的解构成原问题的解。

显然归并排序是一个非常经典规矩的分治法的例子，鉴于之前已经写过一篇关于归并排序的博文，这里不在使用归并排序作为例子。

注意分治法的每一层递归中的第一步分解，可能产生两个子问题(如归并排序、二分查找等)，也可能产生多个子问题(如排列、组合等)，产生两个子问题的时候当然比较容易理解，而产生多个子问题的时候需要使用环循罗列这些子问题。

下面就以排列和组合算法为例，介绍产生多个子问题的分治算法。

一、排列

 问题：输入一个字符串，打印出该字符串中字符的所有排列。

 分析：利用分治法的思想，

(1)先将原问题分解，假如输入的字符串长度是n，那么第一次选择可能是第一个字符、也可能是第二个、。。。也可能是第n个，但是不管是哪一个，只要选出第一个字符，就可以在剩下的n-1个字符里面继续选择一个了，所以需要将原问题分解为n个子问题(每个子问题为第一步选择的是i，然后再对除了i之外的字符进行全排列)，到现在可以发现如果直接按照顺序分解之后，对除了i之外的字符进行全排列，不是那么容易实现递归，于是想到将每个元素(包括第一个元素)都与第一个元素交换，然后分解成的子问题就是先将每个元素与第一个元素交换并选出，然后对第二个到最后的所有元素全排列。注意每次个子问题考虑完之后需要将交换的元素换回。

(2)利用递归解决每个子问题

(3)当所有问题都解决的时候，子问题的解组合起来就是原问题的解了

如：输入字符串为abc ，排列函数为permutation()那么分解成的子问题为a+permutation(bc)、b+permutation(ac)、c+permutation(ab)

 1 #include "stdafx.h"
 2 #include<iostream>
 3 using namespace std;
 4 void print(char *str)
 5 {
 6     char *p=str;
 7     while(*p)
 8     {
 9         cout<<*p<<' ';
10         p++;
11     }
12 }
13 void bianli(char *str,int begin,int length)
14 {
15     char temp;
16     int i;
17     if(begin==length-1)
18     {
19         print(str);
20         cout<<endl;
21         return ;
22     }
23     //可以选取某一个值(包括begin自己)与begin的位置交换，然后对剩下的字符全排列
24     //所以对于每一个位置要么选择先交换，然后递归，要么选择不交换（即交换两次）
25     for(i=begin;i<length;i++)
26     {
27         temp=str[begin];
28         str[begin]=str[i];
29         str[i]=temp;
30 
31         bianli(str,begin+1,length);
32 
33         temp=str[begin];
34         str[begin]=str[i];
35         str[i]=temp;
36     }
37 }
38 
39 int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
40 {
41     char str[4]="123";
42     bianli(str,0,3);
43     return 0;
44 }

二、组合

问题：找出从自然数1、2、3。。。n中任取r个元素的所有组合

分析：

1、分解：与排列不同，组合里每个元素在一种只出现一次，所以并不需要交换元素，而是每次从n个数中按照某种顺序取一个元素，然后考虑全面了即可，如每次取一个最大值，那么只要元素个数>k则是子问题的一种，剩下的思想和排列差不多。

 1 #include<iostream>
 2 using namespace std;
 3 int a[100];//用于存放组合的结果
 4 void zuhe(int n,int k)
 5 {
 6     for(int i=n;i>=k;i--)//顺序选取组合中最大的数
 7     {
 8         a[k]=i;
 9         if(k>1)
10         {
11             zuhe(i-1,k-1);
12         }
13         else
14         {
15             for(int i=1;i<=a[0];i++)
16             {
17                 cout<<a[i]<<" ";
18             }
19             cout<<endl;
20         }
21     }
22 }
23 int main()
24 {
25     int n,k;
26     cin>>n>>k;
27     a[0]=k;
28     zuhe(n,k);
29     return 0;
30 }