博弈论进阶之Multi-SG
时间:2022-05-08
本文章向大家介绍博弈论进阶之Multi-SG,主要内容包括Multi-Nim、博弈分析、Multi-SG、例题、基本概念、基础应用、原理机制和需要注意的事项等,并结合实例形式分析了其使用技巧,希望通过本文能帮助到大家理解应用这部分内容。
Multi-Nim
从最简单的Nim模型开始
它的定义是这样的
有n堆石子,两个人可以从任意一堆石子中拿任意多个石子(不能不拿)或把一堆数量不少于2石子分为两堆不为空的石子,没法拿的人失败。问谁会胜利
博弈分析
这个问题的本质还是Nim游戏,可以利用SG定理来解释
通过观察不难不发现,操作一与普通的Nim游戏等价
操作二实际上是将一个游戏分解为两个游戏,根据SG定理,我们可以通过异或运算把两个游戏连接到一起,作为一个后继状态
煮个栗子
SG(3)的后继状态有{ (0),(1),(2),(1,2) }他们的SG值分别为{ 0,1,2,3 },因此SG(3)=mex{ 0,1,2,3 }=4
另外这种游戏还有一个非常神奇的性质
SGleft( xright) =begin{cases}x-1left( xmod4=0right) \ xleft( xmod4=1 lor 2right) \ x+1left( xmod4=3right) end{cases}
然后把这个结论背过就好啦233
Multi-SG
根据上面的游戏,我们定义Multi-SG游戏
- Multi-SG 游戏规定,在符合拓扑原则的前提下,一个单一游戏的
后继
可以为多个单一游戏
。 - Multi-SG其他规则与SG游戏相同。
注意在这里要分清楚后继
与多个单一游戏
对于一个状态来说,不同的划分方法会产生多个不同的后继,而在一个后继中可能含有多个独立的游戏
一个后继状态的SG值即为后继状态中独立游戏的异或和
该状态的SG值即为后继状态的SG值中未出现过的最小值
例题
难度跨度好大啊QWQ。。
直接放题解吧
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