洛谷P3707 [SDOI2017]相关分析(线段树)

时间:2022-05-08
本文章向大家介绍洛谷P3707 [SDOI2017]相关分析(线段树)，主要内容包括题目描述、输入输出格式、输入输出样例、说明、基本概念、基础应用、原理机制和需要注意的事项等，并结合实例形式分析了其使用技巧，希望通过本文能帮助到大家理解应用这部分内容。

题目描述

Frank对天文学非常感兴趣，他经常用望远镜看星星，同时记录下它们的信息，比如亮度、颜色等等，进而估算出星星的距离，半径等等。

Frank不仅喜欢观测，还喜欢分析观测到的数据。他经常分析两个参数之间（比如亮度和半径）是否存在某种关系。

现在Frank要分析参数XX 与YY 之间的关系。他有nn 组观测数据，第ii 组观测数据记录了x_ixi​ 和y_iyi​ 。他需要一下几种操作

  • 1 L,RL,R ：

用直线拟合第LL 组到底RR 组观测数据。用overline{x}x 表示这些观测数据中xx 的平均数，用overline{y}y​ 表示这些观测数据中yy 的平均数，即

overline{x}={1 over R-L+1} sum _{i=L} ^R x_ix=R−L+11​∑i=LR​xi​

overline{y}={1 over R-L+1} sum _{i=L} ^R y_iy​=R−L+11​∑i=LR​yi​

如果直线方程是y=ax+by=ax+b ，那么a,ba,b 应当这样计算：

a={sum_{i=L} ^R (x_i-overline{x})(y_i-overline{y}) over sum _{i=L} ^R (x_i -overline{x})^2}a=∑i=LR​(xi​−x)2∑i=LR​(xi​−x)(yi​−y​)​

你需要帮助Frank计算aa 。

  • 2 L,R,S,TL,R,S,T ：

Frank发现测量数据第LL 组到底RR 组数据有误差，对每个ii 满足L leq i leq RL≤i≤R ，x_ixi​ 需要加上SS ，y_iyi​ 需要加上TT 。

  • 3 L,R,S,TL,R,S,T ：

Frank发现第LL 组到第RR 组数据需要修改，对于每个ii 满足L leq i leq RL≤i≤R ，x_ixi​ 需要修改为(S+i)(S+i) ，y_iyi​ 需要修改为(T+i)(T+i)。

输入输出格式

输入格式：

第一行两个数n,mn,m ，表示观测数据组数和操作次数。

接下来一行nn 个数，第ii 个数是x_ixi​ 。

接下来一行nn 个数，第ii 个数是y_iyi​ 。

接下来mm 行，表示操作，格式见题目描述。

输出格式：

对于每个1操作，输出一行，表示直线斜率aa 。选手输出与标准输出的绝对误差或相对误差不超过10^{-5}10−5 即为正确。

输入输出样例

输入样例#1： 

3 5
1 2 3
1 2 3
1 1 3
2 2 3 -3 2
1 1 2
3 1 2 2 1
1 1 3

输出样例#1： 

1.0000000000
-1.5000000000
-0.6153846154

说明

对于20%的数据 1 leq n,m leq 10001≤n,m≤1000

另有20%的数据，没有3操作，且2操作中S=0S=0

另有30%的数据，没有3操作。

对于100%的数据，1 leq n,m leq 10^5,0 leq |S|,|T| leq 10^5,0 leq |x_i|,|y_i| leq 10^51≤n,m≤105,0≤∣S∣,∣T∣≤105,0≤∣xi​∣,∣yi​∣≤105

保证1操作不会出现分母为00 的情况。

时间限制：1s

空间限制：128MB

考场上：

线段树裸题—>100

wtf？为什么会有类似等差数列的东西？—>70

maya..被卡精度了QWQ—>40

思路很简单，把式子拆开，然后你就会发现只需要维护x_i*y_i,x_i,y_i,x^2的和

具体怎么维护懒得打了（麻烦。）

建议看这里的第一篇题解

https://www.luogu.org/problemnew/solution/P3707

// luogu-judger-enable-o2
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring>
#define int long long 
#define ls k<<1
#define rs k<<1|1
#define INF 1e8+10
using namespace std;
const int MAXN=1e6+10;
//#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,MAXN,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
inline int read()
{
    char c=getchar();int x=0,f=1;
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}
struct node
{
    int l,r,siz;
    double po;//x^2
    double mul;//xi*yi
    double sx,sy;//sigma
    double ax,ay;//add
    bool lazy;//memset
    node(){sx=-43800000;sy=-43800000;}
}T[MAXN];
struct Ans
{
    double sxiyi;
    double sxi,syi;
    double pox;
    Ans(){sxiyi=sxi=syi=pox=0;}
};
Ans GetAns(int k)
{
    Ans rt;
    rt.sxiyi=T[k].mul;
    rt.sxi=T[k].sx;
    rt.syi=T[k].sy;
    rt.pox=T[k].po;
    return rt;
}
void update(int k)
{
    T[k].po=T[ls].po+T[rs].po;
    T[k].mul=T[ls].mul+T[rs].mul;
    T[k].sx=T[ls].sx+T[rs].sx;
    T[k].sy=T[ls].sy+T[rs].sy;
}
void Memset(int k)
{
    T[k].sx=(T[k].siz*(T[k].l+T[k].r))>>1;
    T[k].sy=(T[k].siz*(T[k].l+T[k].r))>>1;
    T[k].mul=(T[k].r*(T[k].r+1)*(2*T[k].r+1))/6-(T[k].l*(T[k].l-1)*(2*T[k].l-1))/6;
    T[k].po=(T[k].r*(T[k].r+1)*(2*T[k].r+1))/6-(T[k].l*(T[k].l-1)*(2*T[k].l-1))/6;
    T[k].ax=T[k].ay=0;
    T[k].lazy=1;
}
void Clear(int k,int S,int TT)
{
    T[k].po=T[k].po + 2.0*S*T[k].sx + T[k].siz*S*S;
    T[k].mul=T[k].mul + TT*T[k].sx + S*T[k].sy + T[k].siz*S*TT;
    T[k].sx=T[k].sx + T[k].siz*S;
    T[k].sy=T[k].sy + T[k].siz*TT;
    T[k].ax+=S;
    T[k].ay+=TT;
}
void pushdown(int k)
{
    if(T[k].lazy)
    {
        Memset(ls);
        Memset(rs);
        T[k].lazy=0;
        return ;
    }
    int S=T[k].ax,TT=T[k].ay;
    Clear(ls,S,TT);
    Clear(rs,S,TT);
    T[k].ax=0;
    T[k].ay=0;
}
void Build(int ll,int rr,int k)
{
    T[k].l=ll;T[k].r=rr;
    T[k].siz=rr-ll+1;
    if(ll==rr)
    {
        if(T[k].sx==-43800000) {T[k].sx=read();return ;}
        T[k].sy=read();
        T[k].po=T[k].sx*T[k].sx;
        T[k].mul=T[k].sx*T[k].sy;
        return ;
    }
    int mid=ll+rr>>1;
    Build(ll,mid,ls);
    Build(mid+1,rr,rs);
    update(k);
}
Ans Query(int k,int ll,int rr)
{
    pushdown(k);
    Ans rt;
    if(ll<=T[k].l&&T[k].r<=rr)
    {
        rt=GetAns(k);
        return rt;
    }
    pushdown(k);
    int mid=T[k].l+T[k].r>>1;
    if(ll<=mid) 
    {
        pushdown(ls);
        Ans Q=Query(ls,ll,rr);
        rt.sxiyi+=Q.sxiyi;
        rt.sxi+=Q.sxi;
        rt.syi+=Q.syi;
        rt.pox+=Q.pox;
    }
    if(rr>mid)  
    {
        pushdown(rs);
        Ans Q=Query(rs,ll,rr);
        rt.sxiyi+=Q.sxiyi;
        rt.sxi+=Q.sxi;
        rt.syi+=Q.syi;
        rt.pox+=Q.pox;
    }
    return rt;
}
void IntervalAdd(int k,int ll,int rr,int S,int TT)
{
    pushdown(k);
    if(ll<=T[k].l&&T[k].r<=rr)
    {
        Clear(k,S,TT);
        return ;
    }
    pushdown(k);
    int mid=T[k].l+T[k].r>>1;
    if(ll<=mid) pushdown(ls),IntervalAdd(ls,ll,rr,S,TT);
    if(rr>mid)  pushdown(rs),IntervalAdd(rs,ll,rr,S,TT);
    update(k);
}
void IntervalMemset(int k,int ll,int rr)
{
    pushdown(k);
    if(ll<=T[k].l&&T[k].r<=rr)
    {
        Memset(k);
        return ;
    }
    pushdown(k);
    int mid=T[k].l+T[k].r>>1;
    if(ll<=mid) pushdown(ls),IntervalMemset(ls,ll,rr);
    if(rr>mid)    pushdown(rs),IntervalMemset(rs,ll,rr);
    update(k);
}
main()
{
    #ifdef WIN32
    freopen("a.in","r",stdin);
    //freopen("c.out","w",stdout);
    #else
    #endif
    int N=read(),M=read();
    Build(1,N,1);
    Build(1,N,1);
    while(M--)
    {
        int opt=read();
        if(opt==1)
        {
            int L=read(),R=read();
            Ans ans=Query(1,L,R);
            double xba=(double)ans.sxi/(double)(R-L+1);
            double yba=(double)ans.syi/(double)(R-L+1);
            double up=ans.sxiyi-(double)yba*ans.sxi-(double)xba*ans.syi + (double)xba*yba*(R-L+1);
            double down=ans.pox - (double)2.0*xba*ans.sxi + (double)xba*xba*(R-L+1);
            printf("%.10lfn",up/down);
        }
        else if(opt==2)
        {
            int L=read(),R=read(),S=read(),TT=read();
            IntervalAdd(1,L,R,S,TT);
        }
        else if(opt==3)
        {
            int L=read(),R=read(),S=read(),TT=read();
            IntervalMemset(1,L,R);
            IntervalAdd(1,L,R,S,TT);
        }
    }        
    return 0;
}
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring>
#define int long long 
#define ls k<<1
#define rs k<<1|1
#define INF 1e8+10
using namespace std;
const int MAXN=1e6+10;
//#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,MAXN,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
inline int read()
{
    char c=getchar();int x=0,f=1;
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}
struct node
{
    int l,r,siz;
    double po;//x^2
    double mul;//xi*yi
    double sx,sy;//sigma
    double ax,ay;//add
    bool lazy;//memset
    node(){sx=-43800000;sy=-43800000;}
}T[MAXN];
struct Ans
{
    double sxiyi;
    double sxi,syi;
    double pox;
    Ans(){sxiyi=sxi=syi=pox=0;}
};
Ans GetAns(int k)
{
    Ans rt;
    rt.sxiyi=T[k].mul;
    rt.sxi=T[k].sx;
    rt.syi=T[k].sy;
    rt.pox=T[k].po;
    return rt;
}
void update(int k)
{
    T[k].po=T[ls].po+T[rs].po;
    T[k].mul=T[ls].mul+T[rs].mul;
    T[k].sx=T[ls].sx+T[rs].sx;
    T[k].sy=T[ls].sy+T[rs].sy;
}
void pushdown(int k)
{
    if(T[k].lazy)
    {
        T[ls].sx=(T[ls].siz*(T[ls].l+T[ls].r))>>1;
        T[ls].sy=(T[ls].siz*(T[ls].l+T[ls].r))>>1;
        T[ls].mul=(T[ls].r*(T[ls].r+1)*(2*T[ls].r+1))/6-(T[ls].l*(T[ls].l-1)*(2*T[ls].l-1))/6;
        T[ls].po=(T[ls].r*(T[ls].r+1)*(2*T[ls].r+1))/6-(T[ls].l*(T[ls].l-1)*(2*T[ls].l-1))/6;
        T[ls].ax=T[ls].ay=0;
        T[ls].lazy=1;
        T[rs].sx=(T[rs].siz*(T[rs].l+T[rs].r))>>1;
        T[rs].sy=(T[rs].siz*(T[rs].l+T[rs].r))>>1;
        T[rs].mul=(T[rs].r*(T[rs].r+1)*(2*T[rs].r+1))/6-(T[rs].l*(T[rs].l-1)*(2*T[rs].l-1))/6;
        T[rs].po=(T[rs].r*(T[rs].r+1)*(2*T[rs].r+1))/6-(T[rs].l*(T[rs].l-1)*(2*T[rs].l-1))/6;
        T[rs].ax=T[rs].ay=0;
        T[rs].lazy=1;
        T[k].lazy=0;
        return ;
    }
    int S=T[k].ax,TT=T[k].ay;
    T[ls].po=T[ls].po+ 2.0*S*T[ls].sx + T[ls].siz*S*S;
    T[ls].mul=T[ls].mul + TT*T[ls].sx + S*T[ls].sy + T[ls].siz*S*TT;
    T[ls].sx=T[ls].sx + T[ls].siz*S;
    T[ls].sy=T[ls].sy + T[ls].siz*TT;
    T[ls].ax+=S;
    T[ls].ay+=TT;
    T[rs].po=T[rs].po+ 2.0*S*T[rs].sx + T[rs].siz*S*S;
    T[rs].mul=T[rs].mul + TT*T[rs].sx + S*T[rs].sy + T[rs].siz*S*TT;
    T[rs].sx=T[rs].sx + T[rs].siz*S;
    T[rs].sy=T[rs].sy + T[rs].siz*TT;
    T[rs].ax+=S;
    T[rs].ay+=TT;
    T[k].ax=0;
    T[k].ay=0;
}
void Build(int ll,int rr,int k)
{
    T[k].l=ll;T[k].r=rr;
    T[k].siz=rr-ll+1;
    if(ll==rr)
    {
        if(T[k].sx==-43800000) {T[k].sx=read();return ;}
        T[k].sy=read();
        T[k].po=T[k].sx*T[k].sx;
        T[k].mul=T[k].sx*T[k].sy;
        return ;
    }
    int mid=ll+rr>>1;
    Build(ll,mid,ls);
    Build(mid+1,rr,rs);
    update(k);
}
Ans Query(int k,int ll,int rr)
{
    pushdown(k);
    Ans rt;
    if(ll<=T[k].l&&T[k].r<=rr)
    {
        rt=GetAns(k);
        return rt;
    }
    pushdown(k);
    int mid=T[k].l+T[k].r>>1;
    if(ll<=mid) 
    {
        pushdown(ls);
        Ans Q=Query(ls,ll,rr);
        rt.sxiyi+=Q.sxiyi;
        rt.sxi+=Q.sxi;
        rt.syi+=Q.syi;
        rt.pox+=Q.pox;
    }
    if(rr>mid)  
    {
        pushdown(rs);
        Ans Q=Query(rs,ll,rr);
        rt.sxiyi+=Q.sxiyi;
        rt.sxi+=Q.sxi;
        rt.syi+=Q.syi;
        rt.pox+=Q.pox;
    }
    return rt;
}
void IntervalAdd(int k,int ll,int rr,int S,int TT)
{
    pushdown(k);
    if(ll<=T[k].l&&T[k].r<=rr)
    {
        T[k].po=T[k].po + 2.0*S*T[k].sx + T[k].siz*S*S;
        T[k].mul=T[k].mul + TT*T[k].sx + S*T[k].sy + T[k].siz*S*TT;
        T[k].sx=T[k].sx + T[k].siz*S;
        T[k].sy=T[k].sy + T[k].siz*TT;
        T[k].ax+=S;
        T[k].ay+=TT;
        return ;
    }
    pushdown(k);
    int mid=T[k].l+T[k].r>>1;
    if(ll<=mid) pushdown(ls),IntervalAdd(ls,ll,rr,S,TT);
    if(rr>mid)  pushdown(rs),IntervalAdd(rs,ll,rr,S,TT);
    update(k);
}
void IntervalMemset(int k,int ll,int rr)
{
    pushdown(k);
    if(ll<=T[k].l&&T[k].r<=rr)
    {
        T[k].sx=(T[k].siz*(T[k].l+T[k].r))>>1;
        T[k].sy=(T[k].siz*(T[k].l+T[k].r))>>1;
        T[k].mul=(T[k].r*(T[k].r+1)*(2*T[k].r+1))/6-(T[k].l*(T[k].l-1)*(2*T[k].l-1))/6;
        T[k].po=(T[k].r*(T[k].r+1)*(2*T[k].r+1))/6-(T[k].l*(T[k].l-1)*(2*T[k].l-1))/6;
        T[k].ax=T[k].ay=0;
        T[k].lazy=1;
        return ;
    }
    pushdown(k);
    int mid=T[k].l+T[k].r>>1;
    if(ll<=mid) pushdown(ls),IntervalMemset(ls,ll,rr);
    if(rr>mid)    pushdown(rs),IntervalMemset(rs,ll,rr);
    update(k);
}
main()
{
    #ifdef WIN32
    freopen("a.in","r",stdin);
    freopen("c.out","w",stdout);
    #else
    #endif
    int N=read(),M=read();
    Build(1,N,1);
    Build(1,N,1);
    while(M--)
    {
        int opt=read();
        if(opt==1)
        {
            int L=read(),R=read();
            Ans ans=Query(1,L,R);
            double xba=(double)ans.sxi/(double)(R-L+1);
            double yba=(double)ans.syi/(double)(R-L+1);
            double up=ans.sxiyi-(double)yba*ans.sxi-(double)xba*ans.syi + (double)xba*yba*(R-L+1);
            double down=ans.pox - (double)2.0*xba*ans.sxi + (double)xba*xba*(R-L+1);
            printf("%.10lfn",up/down);
        }
        else if(opt==2)
        {
            int L=read(),R=read(),S=read(),TT=read();
            IntervalAdd(1,L,R,S,TT);
        }
        else if(opt==3)
        {
            int L=read(),R=read(),S=read(),TT=read();
            IntervalMemset(1,L,R);
            IntervalAdd(1,L,R,S,TT);
        }
    }        
    return 0;
}

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