BZOJ3143: [Hnoi2013]游走(期望DP 高斯消元)

Description

一个无向连通图，顶点从1编号到N，边从1编号到M。小Z在该图上进行随机游走，初始时小Z在1号顶点，每一步小Z以相等的概率随机选择当前顶点的某条边，沿着这条边走到下一个顶点，获得等于这条边的编号的分数。当小Z 到达N号顶点时游走结束，总分为所有获得的分数之和。现在，请你对这M条边进行编号，使得小Z获得的总分的期望值最小。

Input

第一行是正整数N和M，分别表示该图的顶点数和边数，接下来M行每行是整数u，v(1≤u,v≤N)，表示顶点u与顶点v之间存在一条边。输入保证30%的数据满足N≤10，100%的数据满足2≤N≤500且是一个无向简单连通图。

Output

仅包含一个实数，表示最小的期望值，保留3位小数。

Sample Input

3 3 2 3 1 2 1 3

Sample Output

3.333

HINT

边(1,2)编号为1，边(1,3)编号2，边(2,3)编号为3。

Source

非官方数据

这题真TM恶心啊。。

思路大概是先表示出边的概率，然后表示出点的概率

发现点的概率不能直接搞

然后高斯消元搞一搞

最后贪心的加边，显然概率越小的编号应该越大

详细一点的题解在这里

https://www.luogu.org/problemnew/solution/P3232

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<23,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
using namespace std;
const int MAXN=1e6+10;
const double eps=1e-7;
char buf[1<<23],*p1=buf,*p2=buf;
inline int read()
{
    char c=getchar();int x=0,f=1;
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}
int N,M;
struct node
{
    int u,v,nxt;
}edge[MAXN];
int head[MAXN],num=1;
inline void AddEdge(int x,int y)
{
    edge[num].u=x;
    edge[num].v=y;
    edge[num].nxt=head[x];
    head[x]=num++;
}
double f[1001][1001],ans[MAXN],E[MAXN],inder[MAXN];
int S[MAXN],T[MAXN];
int dcmp(double x)
{
    if(x<eps&&x>-eps) return 0;
    else return x<0?-1:1;
}
void Gauss()
{

    for(int i=1;i<N;i++)
    {
        int mx=i;
        for(int j=i+1;j<N;j++)
            if( dcmp(f[j][i]-f[mx][i])>0 ) mx=j;
        if(mx!=i) swap(f[i],f[mx]);
        for(int j=i+1;j<N;j++)
        {
            double tmp=f[j][i]/f[i][i];
            for(int k=i;k<=N;k++)
                f[j][k]-=(double)tmp*f[i][k];
        }
    }
    for(int i=N-1;i>=1;i--)
    {
        for(int j=i+1;j<N;j++)
            f[i][N]-=ans[j]*f[i][j];
        ans[i]=f[i][N]/f[i][i];
    }
}
int main()
{
    #ifdef WIN32
    freopen("a.in","r",stdin);
    #else
    #endif
    memset(head,-1,sizeof(head));
    N=read(),M=read();
    for(int i=1;i<=M;i++)
    {
        int x=read(),y=read();
        AddEdge(x,y);AddEdge(y,x);
        inder[x]++;inder[y]++;
        S[i]=x;T[i]=y;
    }
    f[1][N]=1;
    for(int i=1;i<N;i++) f[i][i]=1;
    for(int i=1;i<N;i++)
        for(int j=head[i];j!=-1;j=edge[j].nxt)
            if(edge[j].v!=N)
                f[i][edge[j].v]=(double)-1.00/inder[edge[j].v];
    Gauss();
    for(int i=1;i<=M;i++) 
        E[i]=ans[S[i]]/inder[S[i]]+ans[T[i]]/inder[T[i]];
    sort(E+1,E+M+1);
    double out=0;
    for(int i=1;i<=M;i++)
        out+=E[i]*(M-i+1);
    printf("%.3lf",out);
    return 0;
}