二叉树是使用较多的一种树形结构，如比较经典的二叉排序树，Huffman编码等，都使用到了二叉树的结构，同时，在机器学习算法中，基于树的学习算法中也大量使用到二叉树的结构，因此，我们有必要对二叉树的结构有比较详细的了解和掌握。

一、二叉树的基本概念

1、二叉树的概念

二叉树（Binary Tree）是包含nn个节点的有限集合，该集合或者为空集（此时，二叉树称为空树），或者由一个根节点和两棵互不相交的、分别称为根节点的左子树和右子树的二叉树组成。

一棵典型的二叉树如下图所示：

由上述的定义可以看出，二叉树中的节点至多包含两棵子树，分别称为左子树和右子树，而左子树和右子树又分别至多包含两棵子树。由上述的定义，二叉树的定义是一种递归的定义。

2、一些常见的二叉树

• 满二叉树

对于一棵二叉树，如果每一个非叶子节点都存在左右子树，并且二叉树中所有的叶子节点都在同一层中，这样的二叉树称为满二叉树。

一棵满二叉树如下图所示：

• 完全二叉树

对于一棵具有nn个节点的二叉树按照层次编号，同时，左右子树按照先左后右编号，如果编号为ii的节点与同样深度的满二叉树中编号为ii的节点在二叉树中的位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。

一棵完全二叉树如下图所示：

3、二叉树的一些性质

对于二叉树，包含一些性质：

• 在二叉树中，第 ii层上至多有2i−12^{i-1}个节点（i≥1igeq 1）
• 深度为kk的二叉树至多有2k−12^{k-1}个节点（k≥1kgeq 1）
• 对一棵二叉树，如果叶子节点的个数为n0n_0，度为22的节点个数为n2n_2，则n0=n2+1n_0 = n_2 + 1
• 具有nn个节点的完全二叉树的深度为⌊log2n⌋+1left lfloor log _2 n right rfloor+1

二、二叉树的基本操作

1、二叉树的存储结构

若要想对二叉树进行操作，首先需要定义二叉树的存储结构，对于如下图所示的二叉树：

其对应的存储有两种：

• 顺序存储结构
• 链式存储结构

首先，我们来看顺序存储结构，简单来讲，顺序存储结构是指用一维数据存储二叉树中的节点，其中，数组的下标要能体现节点之间的逻辑关系，对于上述的二叉树，其顺序存储结构为：

在顺序存储结构中，“^”表示的是没有节点，从顺序存储可以看出，若出现大量“^”，则对空间是一种极大的浪费。

在二叉树中，每一个节点至多存在左右子树，因此在链式存储结构中，每一个节点的结构为：

其中，data 称为数据域，lchild和rchild称为指针域，分别指向左孩子和右孩子。

在实际使用中，根据不同的需要，使用顺序存储结构和链式存储结构。对于链式存储结构，我们定义如下：

typedef struct BiNode{
        int data;// 数据域的值
        struct BiNode *left;// 左孩子
        struct BiNode *right;// 右孩子
}binode;

2、二叉树的遍历

在二叉树的操作中，二叉树的遍历是基本的操作，对于二叉树的遍历操作，主要分为：

• 前序遍历
• 中序遍历
• 后序遍历
• 层次遍历

对于前序遍历，首先遍历根节点，其次遍历左孩子，再遍历右孩子，按照如此的顺序遍历整棵树，其代码如下：

// 先序遍历
void pre_order(binode *p){
        if (p != NULL){
                printf("%dt", p->data);
                pre_order(p->left);
                pre_order(p->right);
        }
}

对于中序遍历，首先遍历左子树，其次遍历父节点，最后遍历右子树，按照如此的顺序遍历整棵树，其代码如下：

// 中序遍历
void in_order(binode *p){
        if (p != NULL){
                in_order(p->left);
                printf("%dt", p->data);
                in_order(p->right);
        }
}

对于后序遍历，首先遍历左子树，其次遍历右子树，最后遍历父节点，其代码如下：

// 后序遍历
void post_order(binode *p){
        if (p!= NULL){
                post_order(p->left);
                post_order(p->right);
                printf("%dt", p->data);
        }
}

对于层次遍历，需要使用链表存储每一层的节点，同时，遍历完一个节点，将其左右子节点增加近链表中，其代码为：

// 层次遍历
void lever_order(binode *p){
        // 使用队列
        list<binode *> t;
        if (p != NULL){
                t.push_back(p);
        }

        while (t.size() > 0){
                printf("%dt", (t.front())->data);
                if ((t.front())->left != NULL){
                        t.push_back((t.front())->left);
                }

                if ((t.front())->right != NULL){
                        t.push_back((t.front())->right);
                }
                t.pop_front();
        }
}

最终的遍历结果为：

参考文献

• 《大话数据结构》
• 《数据结构》(C语言版)