统计0到n之间1的个数[数学,动态规划dp](经典，详解)

问题描述

给定一个十进制整数N,求出从1到N的所有整数中出现”1”的个数。

例如：N=2时 1,2出现了1个 “1” 。

N=12时 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12。出现了5个“1”。

方法一暴力求解

最直接的方法就是从1开始遍历到N，将其中每一个数中含有“1”的个数加起来，就得到了问题的解。

下面给出代码：

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 typedef long long ll;
 4 int main()
 5 {
 6     int n,x,t;
 7     while(scanf("%d",&n)!=EOF)
 8     {
 9         int ans=0;
10         for(int i=1;i<=n;i++)
11         {
12             t=i;
13             while(t)
14             {
15                 if(t%10==1)
16                     ++ans;
17                 t=t/10;
18             }
19         }
20         printf("%dn",ans);
21     }
22     return 0;
23 }

该算法的时间复杂度为O(N*lgN)

(注：此方法对较大的数据有可能会TL)

解法二

1位数的情况：

在解法二中已经分析过，大于等于1的时候，有1个，小于1就没有。

2位数的情况：

N=13,个位数出现的1的次数为2，分别为1和11，十位数出现1的次数为4，分别为10,11,12,13，所以f(N) = 2+4。

N=23,个位数出现的1的次数为3，分别为1，11，21，十位数出现1的次数为10，分别为10~19，f(N)=3+10。

由此我们发现，个位数出现1的次数不仅和个位数有关，和十位数也有关，如果个位数大于等于1，则个位数出现1的次数为十位数的数字加1；如果个位数为0，个位数出现1的次数等于十位数数字。而十位数上出现1的次数也不仅和十位数相关，也和个位数相关：如果十位数字等于1，则十位数上出现1的次数为个位数的数字加1，假如十位数大于1，则十位数上出现1的次数为10。

3位数的情况:

N=123

个位出现1的个数为13:1,11,21，…，91,101,111,121

十位出现1的个数为20:10~19,110~119

百位出现1的个数为24:100~123

我们可以继续分析4位数，5位数，推导出下面一般情况：

假设N，我们要计算百位上出现1的次数，将由三部分决定：百位上的数字，百位以上的数字，百位一下的数字。

如果百位上的数字为0，则百位上出现1的次数仅由更高位决定，比如12013，百位出现1的情况为100~199,1100~1199,2100~2199，…，11100~11199，共1200个。等于更高位数字乘以当前位数，即12 * 100。

如果百位上的数字大于1，则百位上出现1的次数仅由更高位决定，比如12213，百位出现1的情况为100~199,1100~1199,2100~2199，…，11100~11199，12100~12199共1300个。等于更高位数字加1乘以当前位数，即（12 + 1）*100。

如果百位上的数字为1，则百位上出现1的次数不仅受更高位影响，还受低位影响。例如12113，受高位影响出现1的情况：100~199,1100~1199,2100~2199，…，11100~11199，共1200个，但它还受低位影响，出现1的情况是12100~12113，共114个，等于低位数字113+1。

综合以上分析，写出如下代码：

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<map>
 4 #include<cstring>
 5 #include<string>
 6 #include<algorithm>
 7 #include<queue>
 8 #include<vector>
 9 #include<stack>
10 #include<cstdlib>
11 #include<cctype>
12 #include<cmath>
13 #define LL long long
14 using namespace std;
15 int CountOne(int n) {
16     int cnt = 0;
17     int i = 1;
18     int current = 0, after = 0, before = 0;
19     while ((n / i) != 0) {
20         current = (n / i) % 10;
21         before = n / (i * 10);
22         after = n - (n / i) * i;
23         if (current > 1)
24             cnt = cnt + (before + 1) * i;
25         else if (current == 0)
26             cnt = cnt + before * i;
27         else if (current == 1)
28             cnt = cnt + before * i + after + 1;
29             i = i * 10;
30     }
31     return cnt;
32 }
33 int main()
34 {
35     int n;
36     while(cin>>n){
37         int res=CountOne(n);
38         cout<<res<<endl;
39     }
40     return 0;
41 }