从零开始学算法：高精度计算
前言:由于计算机运算是有模运算,数据范围的表示有一定限制,如整型int(C++中int 与long相同)表达范围是(-2^31~2^31-1),unsigned long(无符号整数)是(0~2^32-1),都约为几十亿.如果采用实数型,则能保存最大的double只能提供15~16位的有效数字,即只能精确表达数百万亿的数.因此,在计算位数超过十几位的数时,不能采用现有类型,只能自己编程计算. 高精度计算通用方法:高精度计算时一般用一个数组来存储一个数,数组的一个元素对应于数的一位(当然,在以后的学习中为了加快计算速度,也可用数组的一个元素表示数的多位数字,暂时不讲),表示时,由于数计算时可能要进位,因此为了方便,将数由低位到高位依次存在数组下标对应由低到高位置上,另外,我们申请数组大小时,一般考虑了最大的情况,在很多情况下,表示有富余,即高位有很多0,可能造成无效的运算和判断,因此,我们一般将数组的第0个下标对应位置来存储该数的位数.如数:3485(三千四百八十五)，表达在数组a[10]上情况是: 下标 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 内容 4 5 8 4 3 0 0 0 0 0 说明：位数 个位 十位 百位 千位 具体在计算加减乘除时方法就是小学时采用的列竖式方法． 注：高精度计算时一般用正数，对于负数，通过处理符号位的修正． 一．高精度数的存储 １．如对数采用的字符串输入
1 #include <iostream>
2 #include <cstring>
3 using namespace std;
4 const int N=100;//最多100位
5 int main()
6 {
7 int a[N+1],i;
8 string s1;
9 cin>>s1;//数s1
10 memset(a,0,sizeof(a)); //数组清0
11 a[0]=s1.length(); //位数
12 for(i=1;i<=a[0];i++) a[i]=s1[a[0]-i]-'0';//将字符转为数字并倒序存储．
13 return 0;
14 }2.直接读入
1 #include <iostream>
2 using namespace std;
3 const int N=100;//最多100位
4 int main()
5 {
6 int a[N+1],i,s,key;
7 cin>>key;//数key
8 memset(a,0,sizeof(a)); //数组清0
9 i=0;//第0位
10 while(key) //当key大于0
11 {
12 a[++i]=key%10;//取第i位的数
13 key=key/10;
14 }
15 a[0]=i; //共i位数
16 return 0;
17 }3.直接初始化(用a[]存储) 初始化为0: memset(a,0,sizeof(a)); 初始化为1: memset(a,0,sizeof(a));a[0]=1;a[1]=1; 以下程序都只写函数，不写完整程序，所有高精度数存储都满足上述约定。 二.高精度数比较
1 int compare(int a[],int b[]) //比较a和b的大小关系，若a>b则为1，a<b则为-1,a=b则为0
2 {int i;
3 if (a[0]>b[0]) return 1;//a的位数大于b则a比b大
4 if (a[0]<b[0]) return -1;//a的位数小于b则a比b小
5 for(i=a[0];i>0;i--) //从高位到低位比较
6 {if (a[i]>b[i]) return 1;
7 if (a[i]<b[i]) return -1;}
8 return 0;//各位都相等则两数相等。
9 }三、高精度加法
1 int plus(int a[],int b[]) //计算a=a+b
2 {int i,k;
3 k=a[0]>b[0]?a[0]:b[0]; //k是a和b中位数最大的一个的位数
4 for(i=1;i<=k;i++)
5 {a[i+1]+=(a[i]+b[i])/10; //若有进位，则先进位
6 a[i]=(a[i]+b[i])%10;} //计算当前位数字,注意：这条语句与上一条不能交换。
7 if(a[k+1]>0) a[0]=k+1; //修正新的a的位数（a+b最多只能的一个进位）
8 else a[0]=k;
9 return 0;
10 }四、高精度减法
1 int gminus(int a[],int b[]);//计算a=a-b，返加符号位0:正数 1:负数
2 { int flag,i
3 flag=compare(a,b); //调用比较函数判断大小
4 if (falg==0)//相等
5 {memset(a,0,sizeof(a));return 0;} //若a=b，则a=0,也可在return前加一句a[0]=1,表示是 1位数0
6 if(flag==1) //大于
7 { for(i=1;i<=a[0];i++)
8 { if(a[i]<b[i]){ a[i+1]--;a[i]+=10;} //若不够减则向上借一位
9 a[i]=a[i]-b[i];}
10 while(a[a[0]]==0) a[0]--; //修正a的位数
11 return 0;}
12 if (flag==-1)//小于 则用a=b-a,返回-1
13 { for(i=1;i<=b[0];i++) { if(b[i]<a[i]){ b[i+1]--;b[i]+=10;} //若不够减则向上借一位
14 a[i]=b[i]-a[i];}
15 a[0]=b[0];
16 while(a[a[0]]==0) a[0]--; //修正a的位数
17 return -1;}
18 }五、高精度乘法1(高精度乘单精度数，单精度数是指通常的整型数)
1 int multi1(int a[],long key) //a=a*key,key是单精度数
2 {int i,k;
3 if (key==0){memset(a,0,sizeof(a));a[0]=1;return 0;} //单独处理key=0
4 for(i=1;i<=a[0];i++)a[i]=a[i]*key;//先每位乘起来
5 for(i=1;i<=a[0];i++){a[i+1]+=a[i]/10;a[i]%=10;} //进位
6 //注意上一语句退出时i=a[0]+1
7 while(a[i]>0) {a[i+1]=a[i]/10;a[i]=a[i]%10;i++;a[0]++];} //继续处理超过原a[0]位数的进位,修正a的位数
8 return 0;
9 }六、 高精度除以低精度； 算法：按照从高位到低位的顺序，逐位相除。在除到第j位时，该位在接受了来自第j+1位的余数后与除数相除，如果最高位为零，则商的长度减一。源程序如下：
1 #include <stdio.h>
2 #define N 500
3 main()
4 {
5 int a[N] = {0}, c[N] = {0};
6 int i, k, d, b;
7 char a1[N];
8 printf("Input 除数:");
9 scanf("%d", &b);
10 printf("Input 被除数:");
11 scanf("%s", a1);
12 k = strlen(a1);
13 for(i = 0; i < k; i++) a[i] = a1[k - i - 1] - '0';
14 d = 0;
15 for(i = k - 1; i >= 0 ; i--)
16 {
17 d = d * 10 + a[i];
18 c[i] = d / b;
19 d = d % b;
20 }
21 while(c[k - 1] == 0 && k > 1) k--;
22 printf("商=");
23 for(i = k - 1; i >= 0; i--) printf("%d", c[i]);
24 printf("n余数=%d", d);
25 } 七、高精度乘以高精度（要求用尽可能少的存储单元）； 算法：用数组保存两个高精度数，然后逐位相乘，注意考虑进位和总位数。源程序如下：
1 #include <stdio.h>
2 main()
3 {
4 int a[240] = {0}, b[240] = {0}, c[480] = {0};
5 int i, j, ka, kb, k;
6 char a1[240], b1[240];
7 gets(a1);
8 ka = strlen(a1);
9 gets(b1);
10 kb = strlen(b1);
11 k = ka + kb;
12 for(i = 0; i < ka; i++) a[i] = a1[ka-i-1] - '0';
13 for(i = 0; i < kb; i++) b[i] = b1[kb-i-1] - '0';
14 for(i = 0; i < ka; i++)
15 for(j = 0; j < kb; j++)
16 {
17 c[i + j] = c[i + j] + a[i] * b[j];
18 c[i + j +1] = c[i + j +1] + c[i + j]/10;
19 c[i + j] = c[i + j] % 10;
20 }
21 if(!c[k]) k--;
22 for(i = k-1; i >= 0; i--) printf("%d", c[i]);
23 } 八、高精度除以高精度（要求用尽可能少的存储单元）； 算法：用计算机模拟手算除法，把除法试商转化为连减。
1 #include <stdio.h>
2 #define N 500
3 int bj(int a[], int b[], int k1, int k2) /*比较大小函数*/
4 {
5 int i, t, flag; /*flag作标志位*/
6 if(k1 < k2)
7 flag = 0; /*被除数小于除数返回0*/
8 else if(k1 > k2)
9 flag = 1; /*被除数大于除数返回1*/
10 else
11 { /*被除数和除数位数相等则逐位进行比较*/
12 i = k1;
13 t = 0;
14 while(t == 0 && i > 0)
15 {
16 if(a[i] > b[i]) {t = 1; flag = 1;}
17 else if(a[i] == b[i]) i--;
18 else {t = 1; flag = 0;}
19 }
20 if(i == 0 && t == 0) flag = 2; /*被除数等于除数返回2*/
21 }
22 return flag;
23 }
24 int jf(int a[], int b[], int k1, int k2) /*减法运算*/
25 {
26 int i, k, d[N];
27 for(i = 0; i < k2; i++) d[i] = b[i]; /*把除数赋给数组d*/
28 for(i = k2; i < N; i++) d[i] = 0; /*d数组无数据的高位置0*/
29 k = k1 - k2 - 1; /*计算减法起始位置*/
30 if(k < 0) k = 0;
31 if(k > 0)
32 {
33 for(i = k2 - 1; i >= 0; i--) d[i + k] = d[i]; /*移动减数位数与被减数对齐*/
34 for(i = 0; i < k; i++) d[i] = 0; /*移动后的其余位置0*/
35 }
36 for(i = 0; i < k1; i++)
37 {
38 if(a[i] >= d[i]) a[i] -= d[i];
39 else
40 {
41 a[i + 1] = a[i + 1] - 1;
42 a[i] = 10 + a[i] - d[i];
43 }
44 }
45 return k;
46 }
47 main()
48 {
49 int a[N] = {0}, b[N] = {0}, c[N] = {0}, d[N] = {0};
50 int i, ka, kb, m, t, t1, t2, k, x, kd, kk;
51 char a1[N], b1[N];
52 printf("Input 被除数:");
53 scanf("%s", a1);
54 ka = strlen(a1);
55 for(i = 0; i < ka; i++) a[i] = a1[ka - i -1] - '0';
56 printf("Input 除数:");
57 scanf("%s", b1);
58 kb = strlen(b1);
59 for(i = 0; i < kb; i++) b[i] = b1[kb - i -1] - '0';
60 kd = ka; /*保存被除数位数 */
61 t2 = bj(a, b, ka, kb);
62 m = 0;
63 do
64 {
65 while(a[ka - 1] == 0) ka--;
66 t = bj(a, b, ka, kb);
67 if(t >= 1)
68 {
69 k = jf(a, b, ka, kb);
70 c[k]++;
71 if(k > m) m = k;
72 t1 = 0;
73 for(i = k; i <= m; i++)
74 {
75 x = c[i] + t1;
76 c[i] = x % 10;
77 t1 = x / 10;
78 }
79 if(t1 > 0) {m++; c[m] = t1; }
80 }
81 }while(t == 1);
82 if(t2 == 0)
83 {
84 printf("商=0");
85 printf("n余数=");
86 for(i = kd - 1; i >= 0; i--) printf("%d", a[i]);
87 exit(1);
88 }
89 if(t2 == 2)
90 {
91 printf("商 = 1");
92 printf("n余数 = 0");
93 exit(1);
94 }
95 kk = kd;
96 while(!c[kd - 1]) kd--;
97 printf("商 = ");
98 for(i = kd - 1; i >= 0; i--) printf("%d", c[i]);
99 while(!a[kk]) kk--;
100 printf("n余数 = ");
101 if(kk < 0)
102 {
103 printf("0");
104 exit(1);
105 }
106 for(i = kk; i >= 0; i--) printf("%d", a[i]);
107 } 下面给出一些案例：
问题1. N！，要求精确到P位（0〈P〈1000〉。 算法：结果用数组a保存，开始时a[0]=1，依次乘以数组中各位，注意进位和数组长度的变化。源程序如下：
1 #include <stdio.h>
2 #define M 1000
3 main()
4 {
5 int a[M], i, n, j, flag = 1;
6 printf("n=");
7 scanf("%d",&n);
8 printf("n!=");
9 a[0] = 1;
10 for(i = 1; i < M; i++) a[i] = 0;
11 for(j = 2; j <= n; j++)
12 {
13 for(i = 0; i < flag; i++) a[i] *= j;
14 for(i = 0; i < flag; i++)
15 if(a[i] >= 10)
16 {
17 a[i+1] += a[i]/10;
18 a[i] = a[i] % 10;
19 if(i == flag-1) flag++;
20 }
21 }
22 for(j = flag - 1; j >= 0; j--)
23 printf("%d", a[j]);
24 } 问题2. 麦森数 【问题描述】形如2P-1的素数称为麦森数，这时P一定也是个素数。但反过来不一定，即如果P是个素数，2P-1不一定也是素数。到1998年底，人们已找到了37个麦森数。最大的一个是P=3021377，它有909526位。麦森数有许多重要应用，它与完全数密切相关。 任务：从文件中输入P（1000<P<3100000），计算2P-1的位数和最后500位数字（用十进制高精度数表示） 【输入格式】 文件中只包含一个整数P（1000<P<3100000） 【输出格式】 第一行：十进制高精度数2P-1的位数。 第2-11行：十进制高精度数2P-1的最后500位数字。（每行输出50位，共输出10行，不足500位时高位补0） 不必验证2P-1与P是否为素数。 【输入样例】 1279 【输出样例】 386 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000104079321946643990819252403273640855 38615262247266704805319112350403608059673360298012 23944173232418484242161395428100779138356624832346 49081399066056773207629241295093892203457731833496 61583550472959420547689811211693677147548478866962 50138443826029173234888531116082853841658502825560 46662248318909188018470682222031405210266984354887 32958028878050869736186900714720710555703168729087 算法：2的幂可以转化成左移运算，为了提高运算速度，可每次左移10位，即每次乘210。对于个位单独考虑，每次左移一位。源程序如下：
1 #include <stdio.h>
2 #include <math.h>
3 #define MAX 100000
4 main()
5 {
6 int p;
7 int i, j;
8 scanf("%d", &p);
9 printf("%dn", (int)(p * log10(2.0)) + 1);
10 long store[110] = {0};
11 store[0] = 1;
12 int left = p % 10;
13 p /= 10;
14 for(i = 1; i <= p; i++)
15 {
16 for(j = 0; j <= 100; j++)
17 store[j] <<= 10;
18 for(j = 0; j <= 100; j++)
19 {
20 if(store[j] >= MAX)
21 {
22 store[j + 1] += store[j] / MAX;
23 store[j] %= MAX;
24 }
25 }
26 }
27 for(i = 1; i <= left; i++)
28 {
29 for(j = 0; j <= 100; j++)
30 store[j] <<= 1;
31 for(j = 0; j <= 100; j++)
32 {
33 if(store[j] >= MAX)
34 {
35 store[j + 1] += store[j] / MAX;
36 store[j] %= MAX;
37 }
38 }
39 }
40 store[0] -= 1;
41 for(i = 1; i < 100; i++)
42 {
43 if(store[i - 1] < 0)
44 {
45 store[i] -= 1;
46 store[i - 1] += MAX;
47 }
48 else
49 break;
50 }
51 for(i = 99; i >= 0; i--)
52 {
53 printf("%05d", store[i]);
54 if((100 - i) % 10 == 0)
55 printf("n");
56 }
57 } 问题3. 有一个正整数N（N可能达到120位），它是由若干个不大于65535的正整数相乘而得到的。请把这个数分解成素数因子（质因子）的乘积。 输入：输入文件只有一行为N的值。 输出：（1）素数因子由小到大分行输出； （2）每一行输出一个素数因子和该素数因子的个数，用一个空格分开； （3）如果正整数N的分解中有一个以上的大于65535的素数，请按照（1）、（2）的要求输出分解中的小于65535的素数后，在下一行输出 “DATA ERROR！”。 算法：先将2到65535之间的所有素数保存在数组中，用这个数去除数组中的每一个数，得到一个质因数就打印出来。源程序如下：
1 #include <stdio.h>
2 #include <math.h>
3 int length, temp[120];
4 int sushu(int a[])
5 {
6 int i, j, k = 0, m;
7 for(i = 2; i <= 65537; i++)
8 {
9 m = sqrt(i);
10 for(j = 2; j <= m; j++)
11 if(i % j == 0) break;
12 if(j > m)
13 {
14 a[k] = i;
15 k++;
16 }
17 }
18 return k;
19 }
20 int divide(int a[], int k)
21 {
22 int i, d = 0;
23 for(i = length - 1; i >= 0; i--)
24 {
25 d = d * 10 + a[i];
26 temp[i] = d / k;
27 d = d % k;
28 }
29 if(!d)
30 {
31 while(temp[length - 1] == 0 && length > 1) length--;
32 for(i = 0; i < length; i++)
33 {
34 a[i] = temp[i];
35 temp[i] = 0;
36 }
37 for(i = length; i < 120; i++) a[i] = 0;
38 }
39 else
40 for(i = 0; i < length; i++) temp[i] = 0;
41 return d;
42 }
43 main()
44 {
45 int i, k, s, d; /*s计数器; d余数*/
46 int a[6600], b[120] = {0}, c[120] = {0};
47 char b1[120];
48 gets(b1);
49 length = strlen(b1);
50 for(i = 0; i < length; i++) b[i] = b1[length - i - 1] - '0';
51 k = sushu(a);
52 for(i = 0; i < k; i++)
53 {
54 s = 0;
55 d = divide(b, a[i]);
56 while(!d)
57 {
58 s++;
59 d = divide(b, a[i]);
60 }
61 if(i == k - 1)
62
63 {
64 printf("Data Error!");
65 break;
66 }
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