2017 Multi-University Training Contest - Team 1 1003&&HDU 6035 Colorful Tree【树形dp】

时间:2022-05-07
本文章向大家介绍2017 Multi-University Training Contest - Team 1 1003&&HDU 6035 Colorful Tree【树形dp】,主要内容包括Colorful Tree、思路:、基本概念、基础应用、原理机制和需要注意的事项等,并结合实例形式分析了其使用技巧,希望通过本文能帮助到大家理解应用这部分内容。

Colorful Tree

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Sample Input

3
1 2 1
1 2
2 3
6
1 2 1 3 2 1
1 2
1 3
2 4
2 5
3 6

Sample Output

Case #1: 6
Case #2: 29

Source

2017 Multi-University Training Contest - Team 1

题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6035

题意: 

一棵n个结点的树,每个结点都有颜色,定义两点之间的路径长度为路径上出现的不同颜色数目,求树上所有路径的长度和。


思路:

“真的难”系列。

官方题解:

首先这题肯定是算贡献,也就是计算出每种颜色参与了多少条路径,但这样正面考虑并不容易,不妨从反面考虑,计算每种颜色没有参与多少路径,然后拿 (路径总数 * 颜色总数) - 没参与的贡献,就是答案了。 对于一种颜色x,怎么计算没参与的路径数目呢,很显然,对于每个不包含颜色x的连通块中任意两点路径都是x不参与的贡献,那么问题就转化为,对于任意一种颜色x,需要求出每个不包含x的连通块大小。 这里利用了树形dp,对于结点u,若u的颜色为x,那么dfs(u)的过程中,我们就想知道对于u的每个儿子v构成的子树中最高的一批颜色也为x的结点是哪些,要是知道这些结点子树的大小,只要拿子树v的大小减去这些节点子树的大小,就可以得到包括v在内的没有颜色x的连通块大小。 举个例子,如图:

对于结点1,我们想求出与1相邻的且不是黑色的结点组成的连通块大小,此时就要dfs结点1的两个儿子2和3,若我们处理出来结点2中,最高的一批黑色结点(4,8)的所构成子树的大小分别为2和1,那么我们拿2为根子树的大小5,减去2,减去1,就得到了结点2不包含黑色结点的连通块大小是5-2-1=2,也就是图中的2和5组成的连通块。同理对3,可以求得连通块大小是2({3,6})。 计算出了子树u中连通块大小对答案的贡献之后,就要将当前最高一批的黑色结点更新为u,最高黑色节点构成的子树大小sum加上子树u中没有计算的那部分大小5({1,2,3,5,6})。 具体实现,看代码,sum[x]表示的遍历到当前位置,颜色为x的高度最高一批结点为根的子树大小总和。

下面给出AC代码:

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 const int MAXN = 2e5 + 10;
 4 typedef long long LL;
 5 
 6 LL color[MAXN], sz[MAXN], sum[MAXN], vis[MAXN];
 7 vector <int> tree[MAXN];
 8 LL ans;
 9 
10 LL dfs(int u, int pa) {
11     sz[u] = 1;
12     LL allson = 0;
13     int cnt = tree[u].size();
14     for (int i = 0; i < cnt; i++) {
15         int v = tree[u][i];
16         if (v == pa) continue;
17         LL last = sum[color[u]];            // 保存递归之前的sum值
18         sz[u] += dfs(v, u);
19         LL add = sum[color[u]] - last;      // add就是结点v为根的子树中颜色为color[u]且高度最高的若干子树的大小
20         // 对于结点v来说,sz[v]-add就是v这棵子树最上端的,且不包含颜色为color[u]的连通块大小
21         ans += (sz[v] - add) * (sz[v] - add - 1) / 2;    // 对这个连通块中任意两个点的路径都不包含颜色color[u]
22         allson += sz[v] - add;          // allson记录下儿子结点v组成的不含颜色color[u]的连通块大小总和
23     }
24     sum[color[u]] += allson + 1;        // sum更新,此时要加上不含color[u]连通块的大小总和以及u自己
25     return sz[u];
26 }
27 
28 int main() {
29     //freopen("in.txt", "r", stdin);
30     int n, cs = 0;
31     while (scanf("%d", &n) !=EOF) {
32         memset(vis, 0, sizeof(vis));
33         memset(sum, 0, sizeof(sum));
34         int cnt = 0;
35         for (int i = 1; i <= n; i++) {
36             scanf("%I64d", &color[i]);
37             if (!vis[color[i]]) ++cnt;
38             vis[color[i]] = 1;
39             tree[i].clear();
40         }
41         for (int i = 1; i < n; i++) {
42             int u, v;
43             scanf("%d%d", &u, &v);
44             tree[u].push_back(v);
45             tree[v].push_back(u);
46         }
47         printf("Case #%d: ", ++cs);
48         if (cnt == 1) {             // 只有一种颜色的特殊情况
49             printf("%I64dn", (LL)n * (n - 1LL) / 2LL);
50             continue;
51         }
52         ans = 0;
53         dfs(1, -1);
54         for (int i = 1; i <= n; i++) {      // 注意最后要对整棵树来补充所有颜色剩下的联通块
55             if (!vis[i]) continue;
56             ans += (n - sum[i]) * (n - sum[i] - 1LL) / 2LL;
57         }
58         printf("%I64dn", (LL)n * (n - 1LL) / 2LL * cnt - ans);
59     }
60     return 0;
61 }