数塔

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Problem Description

在讲述DP算法的时候，一个经典的例子就是数塔问题，它是这样描述的：有如下所示的数塔，要求从顶层走到底层，若每一步只能走到相邻的结点，则经过的结点的数字之和最大是多少？

已经告诉你了，这是个DP的题目，你能AC吗?

Input

输入数据首先包括一个整数C,表示测试实例的个数，每个测试实例的第一行是一个整数N(1 <= N <= 100)，表示数塔的高度，接下来用N行数字表示数塔，其中第i行有个i个整数，且所有的整数均在区间[0,99]内。

Output

对于每个测试实例，输出可能得到的最大和，每个实例的输出占一行。

Sample Input

3 8

8 1 0

2 7 4 4

4 5 2 6 5

Sample Output

Source

2006/1/15 ACM程序设计期末考试

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2084

分析：DP入门题，学长好像讲了DFS写法，没怎么听，下次补上！

 1 #include<stdio.h>
 2 int main()
 3 {
 4     int C,i,j,N;
 5     int a[101][101];
 6     while(scanf("%d",&C)==1)
 7     {
 8         while(C--)
 9         {
10             scanf("%d",&N);
11             for(i=0;i<N;i++)
12                 for(j=0;j<=i;j++)
13                     scanf("%d",&a[i][j]);
14             for(i=N-1;i>=0;i--)
15             {
16                 for(j=0;j<=i;j++)
17                 {
18                     if(a[i][j]+a[i-1][j]>a[i][j+1]+a[i-1][j])
19                         a[i-1][j]=a[i][j]+a[i-1][j];
20                     else
21                         a[i-1][j]=a[i][j+1]+a[i-1][j];
22                 }
23             }
24             printf("%dn",a[0][0]);
25         }
26     }
27     return 0;
28 }

以上这种是别人的想法，下面我来说说我对DP的理解！

解题思路：用二维数组存放数字三角形。 D( r, j) : 第r行第 j 个数字(r,j从1开始算) MaxSum(r, j) : 从D(r,j)到底边的各条路径中，最佳路径的数字之和。问题：求 MaxSum(1,1) 典型的递归问题。 D(r, j)出发，下一步只能走D(r+1,j)或者D(r+1, j+1)。故对于N行的三角形： if ( r == N) MaxSum(r,j) = D(r,j) else MaxSum( r, j) = Max{ MaxSum(r＋1,j), MaxSum(r+1,j+1) } + D(r,j)

并且每算出一个MaxSum(r,j)就保存起来，下次用到其值的时候直接取用，则可免去重复计算。那么可以用O(n 2 )时间完成计算。因为三角形的数字总数是 n(n+1)/2！

下面给出我的代码：

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 int dp[105][105];
 4 int maxSum[105][105];
 5 int n;
 6 int MaxSum(int i,int j)
 7 {
 8     if(maxSum[i][j]!=-1)
 9         return maxSum[i][j];
10     if(i==n)
11         maxSum[i][j]=dp[i][j];
12     else
13     {
14         int x=MaxSum(i+1,j);
15         int y=MaxSum(i+1,j+1);
16         maxSum[i][j]=max(x,y)+dp[i][j];
17     }
18     return maxSum[i][j];
19 }
20 int main()
21 {
22     int T;
23     while(cin>>T)
24     {
25         while(T--)
26         {
27             cin>>n;
28             for(int i=1;i<=n;i++)
29             for(int j=1;j<=i;j++)
30             {
31                 cin>>dp[i][j];
32                 maxSum[i][j]=-1;
33             }
34             cout<<MaxSum(1,1)<<endl;
35         }
36     }
37     return 0;
38 }

HDU 2084 数塔(简单DP入门)

数塔