本周内容较多，故分为上下两篇文章。 本文为下篇。

一、内容概要

1. Anomaly Detection

• Density Estimation
  • Problem Motivation
  • Gaussian Distribution
  • Algorithm
• Building an Anomaly Detection System（创建异常检测系统）
  • Developing and Evaluating an Anomaly Detection System
  • Anomaly Detection vs. Supervised Learning
  • Choosing What Features to Use
• Multivariate Gaussion Distribution（多元高斯分布）
  • Multivariate Gaussion Distribution
  • Anomaly Detection using the Multivariate Gaussion Distribution 2. Recommender System
• Predicting Movie
  • Problem Formulation
  • Content Based Recommendations
• Collaborative Filtering(协同过滤)
  • Collaborative Filtering
  • Collaborative Filtering Algorithm
• Low Rank Matrix Factorization（低秩矩阵分解）
  • Vectorization（向量化）： Low Rank Matrix Factorization
  • Implementational Detail：Mean Normalization
  • 二、重点&难点

Recommender System(推荐系统)

1.Predicting Movie

1）Problem Formulation

下面将以推荐电影为例来介绍推荐系统的实现。

上面的分数表示用户对该电影的评分（0~5分，？表示未获得评分数据） 为方便下面叙述，对如下符号进行说明：

• (n_u)：表示用户数量
• (n_m)：表示电影数量
• r(i,j)：如果等于1则表示用户j对电影i进行了评分
• (y^{(i,j)})：表示用户j对电影i的评分

上面例子中可以知道 (n_u=4 quad n_m=5 quad y^{(1,1)}=5)

2）Content Based Recommendations(基于内容的推荐)

• 1.获取特征向量 为了实现推荐，我们为每部电影提取出了两个特征值，即x1（浪漫指数）和x2（动作指数）

由上表可知每部电影都可以用一组特征向量表示：

• 每一步电影都加上一个额外的特征，即 (x_0=1)
• 每部电影都有一个(3,1)的特征向量，例如第一部电影（Love at last）：(x^{(1)}=[1,0.9,0.1]^T)
• 对于所有数据我们有数据特征向量组为({x^{(1)},x^{(2)},x^{(3)},x^{(4)},x^{(5)}})
• 2.特征权重θ 用户j对电影i的评分预测可以表示为((θ^j)^Tx^i=stars)
• 3. 线性回归预测

和线性回归一样，可以得到如下优化目标函数:

• 对单个用户而言

[min_{θ^{(j)}}frac{1}{2}sum_{i;r(i,j)=1}((θ^{(j)})^Tx^{(i)}-y^{(i,j)})^2 + frac{λ}{2}sum_{k=1}^n (θ_k^{(j)})^2 ]

• 对所有用户而言

[min_{θ^{(1)},...,θ^{(n_u)}}frac{1}{2}sum_{j=1}^{n_u}sum_{i:r(i,j)=1}((θ^{(j)})^Tx^{(i)}-y^{(i,j)})^2 + frac{λ}{2}sum_{j=1}^{n_u}sum_{k=1}^n (θ_k^{(j)})^2 ]

应用梯度下降：

[当k=0，θ_k^{(j)}:=θ_k^{(j)}-αsum_{i:r(i,j)=1}( (θ^{(j)})^Tx^{(i)}-y^{(i,j)} )x_k^{(i)}] [当k≠0，θ_k^{(j)}:=θ_k^{(j)}-αsum_{i:r(i,j)=1}( (θ^{(j)})^Tx^{(i)}-y^{(i,j)} )x_k^{(i)}+λθ_k^{(j)}]

2.Collaborative Filtering(协同过滤)

1）Collaborative Filtering

在之前的基于内容的推荐系统中，对于每一部电影，我们都掌握了可用的特征，使用这些特征训练出了每一个用户的参数。相反地，如果我们拥有用户的参数，我们可以学习得出电影的特征。即由θ求出x。

[min_{θ^{(1)},...,θ^{(n_m)}}frac{1}{2}sum_{j=1}^{n_u}sum_{i:r(i,j)=1}((θ^{(j)})^Tx^{(i)}-y^{(i,j)})^2 + frac{λ}{2}sum_{j=1}^{n_m}sum_{k=1}^n (θ_k^{(j)})^2 ]

注意累计符号的上限由(n_u)变成了(n_m)

但是如果我们既没有用户的参数也没有电影的特征该怎么办？这时协同过滤就可以起作用了，只需要对优化目标函数进行改进，如下：

[J(x^{(1)},...,x^{(n_m)},θ^{(1)},...,θ^{(n_u)}) = frac{1}{2}sum_{(i,j):r(i,j)=1}((θ^{(j)})^Tx^{(i)}-y^{(i,j)})^2 \ quadquadquadquadquadquadquad +frac{λ}{2}sum_{j=1}^{n_u}sum_{k=1}^n (θ_k^{(j)})^2 \ quadquadquadquadquadquadquad+ frac{λ}{2}sum_{i=1}^{n_m}sum_{k=1}^n (x_k^{(i)})^2]

对代价函数求偏导结果如下： [x_k^{(i)} := x_k^{(i)} - α(sum_{j:r(i,j)=1}( (θ^{(j)})^Tx^{(i)}-y^{(i,j)} )θ_k^{(j)} +λx_k^{(i)} ) ] [θ_k^{(j)} := θ_k^{(j)} - α(sum_{i:r(i,j)=1}( (θ^{(j)})^Tx^{(i)}-y^{(i,j)} )x_k^{(i)} +λθ_k^{(j)} ) ]

协同过滤算法使用步骤如下：

1. 初始 x (1) ,x (2) ,...,x ((n_m)) ，θ (1) ,θ (2) ,...,θ ((n_u)) 为一些随机小值
2. 使用梯度下降算法最小化代价函数
3. 在训练完算法后，我们预测((θ ^{(j)} )^ T x^{ (i)}) 为用户 j 给电影 i 的评分

3. Low Rank Matrix Factorization（低秩矩阵分解）

1）Vectorization（向量化）： Low Rank Matrix Factorizationv

（同样的例子）很显然我们可以得到评分矩阵Y [Y= left[ begin{array}{cccc} 5&5&0&0 \ 5&?&?&0 \ ?&4&0&? \ 0&0&5&4 \ 0&0&5&0 \ end{array} right] ]

推出评分 [ begin{pmatrix} (θ^{(1)})^T(x^{(1)}) &(θ^{(2)})^T(x^{(1)})& cdots & (θ^{(n_u)})^T(x^{(1)}) \ (θ^{(1)})^T(x^{(2)}) &(θ^{(2)})^T(x^{(2)})& cdots & (θ^{(n_u)})^T(x^{(2)}) \ vdots & vdots& ddots & vdots \ (θ^{(1)})^T(x^{(n_m)}) &(θ^{(2)})^T(x^{(n_m)})& cdots & (θ^{(n_u)})^T(x^{(n_m)}) \ end{pmatrix} ]

如何寻找与电影i相关的电影j呢？满足(||x^{(i)}-x^{(j)}||)较小的前几部影片即可。

2）Implementational Detail：Mean Normalization

假如增加了一个用户marsggbo，他很单纯，这5部电影都还没看过，所以没有评分数据，这是可以通过均值正则化来初始化数据，具体实现如下：

此时的评分矩阵为 [Y= left[ begin{array}{cccc} 5&5&0&0&? \ 5&?&?&0&? \ ?&4&0&?&? \ 0&0&5&4&? \ 0&0&5&0&? \ end{array} right] ]

首先求出每行的均值（未评分不用计算） [μ=left[ begin{array} 2.5 \ 2.5 \ 2 \ 2.25 \ 1.25 end{array} right]→ Y= left[ begin{array}{cccc} 2.5&2.5&-2.5&-2.5&? \ 2.5&?&?&-2.5&? \ ?&2&-2&?&? \ -2.25& -2.25&2.75&1.75&? \ -1.25&-1.25&3.75&-1.25&? \ end{array} right] ]

预测值为((θ^{(j)})^T(x^{(i)})+μ_i)，因为优没有评分。所以化目的函数只需要(minfrac{λ}{2}sum_{j=1}^{n_u}sum_{k=1}^n (θ_k^{(j)})^2),很显然(θ=vec0)，所以新增用户评分数据可初始化为均值，即 [Y= left[ begin{array}{cccc} 5&5&0&0&2.5 \ 5&?&?&0&2.5 \ ?&4&0&?&2 \ 0&0&5&4&2.25 \ 0&0&5&0&1.25 \ end{array} right] ]