图的基本算法(BFS和DFS)

图是一种灵活的数据结构，一般作为一种模型用来定义对象之间的关系或联系。对象由顶点（V）表示，而对象之间的关系或者关联则通过图的边（E）来表示。 图可以分为有向图和无向图，一般用G=(V,E)来表示图。经常用邻接矩阵或者邻接表来描述一副图。 在图的基本算法中，最初需要接触的就是图的遍历算法，根据访问节点的顺序，可分为广度优先搜索（BFS）和深度优先搜索（DFS）。

广度优先搜索（BFS） 广度优先搜索在进一步遍历图中顶点之前，先访问当前顶点的所有邻接结点。 a .首先选择一个顶点作为起始结点，并将其染成灰色，其余结点为白色。 b. 将起始结点放入队列中。 c. 从队列首部选出一个顶点，并找出所有与之邻接的结点，将找到的邻接结点放入队列尾部，将已访问过结点涂成黑色，没访问过的结点是白色。如果顶点的颜色是灰色，表示已经发现并且放入了队列，如果顶点的颜色是白色，表示还没有发现 d. 按照同样的方法处理队列中的下一个结点。 基本就是出队的顶点变成黑色，在队列里的是灰色，还没入队的是白色。 用一副图来表达这个流程如下：

1.初始状态，从顶点1开始，队列={1}

2.访问1的邻接顶点，1出队变黑，2,3入队，队列={2,3,}

3.访问2的邻接结点，2出队，4入队，队列={3,4}

4.访问3的邻接结点，3出队，队列={4}

5.访问4的邻接结点，4出队，队列={ 空}

从顶点1开始进行广度优先搜索：

1. 初始状态，从顶点1开始，队列={1}
2. 访问1的邻接顶点，1出队变黑，2,3入队，队列={2,3,}
3. 访问2的邻接结点，2出队，4入队，队列={3,4}
4. 访问3的邻接结点，3出队，队列={4}
5. 访问4的邻接结点，4出队，队列={ 空} 结点5对于1来说不可达。 上面的图可以通过如下邻接矩阵表示：

1 int maze[5][5] = {
2     { 0, 1, 1, 0, 0 },
3     { 0, 0, 1, 1, 0 },
4     { 0, 1, 1, 1, 0 },
5     { 1, 0, 0, 0, 0 },
6     { 0, 0, 1, 1, 0 }
7 };

1. BFS核心代码如下：

 1 #include <iostream>
 2 #include <queue>
 3 #define N 5
 4 using namespace std;
 5 int maze[N][N] = {
 6     { 0, 1, 1, 0, 0 },
 7     { 0, 0, 1, 1, 0 },
 8     { 0, 1, 1, 1, 0 },
 9     { 1, 0, 0, 0, 0 },
10     { 0, 0, 1, 1, 0 }
11 };
12 int visited[N + 1] = { 0, };
13 void BFS(int start)
14 {
15     queue<int> Q;
16     Q.push(start);
17     visited[start] = 1;
18     while (!Q.empty())
19     {
20         int front = Q.front();
21         cout << front << " ";
22         Q.pop();
23         for (int i = 1; i <= N; i++)
24         {
25             if (!visited[i] && maze[front - 1][i - 1] == 1)
26             {
27                 visited[i] = 1;
28                 Q.push(i);
29             }
30         }
31     }
32 }
33 int main()
34 {
35     for (int i = 1; i <= N; i++)
36     {
37         if (visited[i] == 1)
38             continue;
39         BFS(i);
40     }
41     return 0;
42 }

深度优先搜索（DFS） 深度优先搜索在搜索过程中访问某个顶点后，需要递归地访问此顶点的所有未访问过的相邻顶点。 初始条件下所有节点为白色，选择一个作为起始顶点，按照如下步骤遍历： a. 选择起始顶点涂成灰色，表示还未访问 b. 从该顶点的邻接顶点中选择一个，继续这个过程（即再寻找邻接结点的邻接结点），一直深入下去，直到一个顶点没有邻接结点了，涂黑它，表示访问过了 c. 回溯到这个涂黑顶点的上一层顶点，再找这个上一层顶点的其余邻接结点，继续如上操作，如果所有邻接结点往下都访问过了，就把自己涂黑，再回溯到更上一层。 d. 上一层继续做如上操作，知道所有顶点都访问过。 用图可以更清楚的表达这个过程：

1.初始状态，从顶点1开始

2.依次访问过顶点1,2,3后，终止于顶点3

3.从顶点3回溯到顶点2，继续访问顶点5，并且终止于顶点5

4.从顶点5回溯到顶点2，并且终止于顶点2

5.从顶点2回溯到顶点1，并终止于顶点1

6.从顶点4开始访问，并终止于顶点4 从顶点1开始做深度搜索：

1. 初始状态，从顶点1开始
2. 依次访问过顶点1,2,3后，终止于顶点3
3. 从顶点3回溯到顶点2，继续访问顶点5，并且终止于顶点5
4. 从顶点5回溯到顶点2，并且终止于顶点2
5. 从顶点2回溯到顶点1，并终止于顶点1
6. 从顶点4开始访问，并终止于顶点4 上面的图可以通过如下邻接矩阵表示： DFS核心代码如下（递归实现）： 1 #include <iostream> 2 #define N 5 3 using namespace std; 4 int maze[N][N] = { 5 { 0, 1, 1, 0, 0 }, 6 { 0, 0, 1, 0, 1 }, 7 { 0, 0, 1, 0, 0 }, 8 { 1, 1, 0, 0, 1 }, 9 { 0, 0, 1, 0, 0 } 10 }; 11 int visited[N + 1] = { 0, }; 12 void DFS(int start) 13 { 14 visited[start] = 1; 15 for (int i = 1; i <= N; i++) 16 { 17 if (!visited[i] && maze[start - 1][i - 1] == 1) 18 DFS(i); 19 } 20 cout << start << " "; 21 } 22 int main() 23 { 24 for (int i = 1; i <= N; i++) 25 { 26 if (visited[i] == 1) 27 continue; 28 DFS(i); 29 } 30 return 0; 31 } 非递归实现如下，借助一个栈： 1 #include <iostream> 2 #include <stack> 3 #define N 5 4 using namespace std; 5 int maze[N][N] = { 6 { 0, 1, 1, 0, 0 }, 7 { 0, 0, 1, 0, 1 }, 8 { 0, 0, 1, 0, 0 }, 9 { 1, 1, 0, 0, 1 }, 10 { 0, 0, 1, 0, 0 } 11 }; 12 int visited[N + 1] = { 0, }; 13 void DFS(int start) 14 { 15 stack<int> s; 16 s.push(start); 17 visited[start] = 1; 18 bool is_push = false; 19 while (!s.empty()) 20 { 21 is_push = false; 22 int v = s.top(); 23 for (int i = 1; i <= N; i++) 24 { 25 if (maze[v - 1][i - 1] == 1 && !visited[i]) 26 { 27 visited[i] = 1; 28 s.push(i); 29 is_push = true; 30 break; 31 } 32 } 33 if (!is_push) 34 { 35 cout << v << " "; 36 s.pop(); 37 } 38 39 } 40 } 41 int main() 42 { 43 for (int i = 1; i <= N; i++) 44 { 45 if (visited[i] == 1) 46 continue; 47 DFS(i); 48 } 49 return 0; 50 } 有的DFS是先访问读取到的结点，等回溯时就不再输出该结点，也是可以的。算法和我上面的区别就是输出点的时机不同，思想还是一样的。DFS在环监测和拓扑排序中都有不错的应用。

1 int maze[5][5] = {
2     { 0, 1, 1, 0, 0 },
3     { 0, 0, 1, 0, 1 },
4     { 0, 0, 1, 0, 0 },
5     { 1, 1, 0, 0, 1 },
6     { 0, 0, 1, 0, 0 }
7 };

1 int maze[5][5] = {
2     { 0, 1, 1, 0, 0 },
3     { 0, 0, 1, 1, 0 },
4     { 0, 1, 1, 1, 0 },
5     { 1, 0, 0, 0, 0 },
6     { 0, 0, 1, 1, 0 }
7 };

感谢卡巴拉的树提供的文章，本文来自于http://www.jianshu.com/p/70952b51f0c8