IOI 2019 题解

时间:2023-01-13
本文章向大家介绍IOI 2019 题解,主要内容包括Day1 A 排列鞋子、Day1 B 景点划分、Day1 C 矩形区域、Day2 A 折线、Day2 B 视觉程序、Day2 C、使用实例、应用技巧、基本知识点总结和需要注意事项,具有一定的参考价值,需要的朋友可以参考一下。

Day1 A 排列鞋子

从前往后考虑每个位置 \(i\),并找到与它匹配的最靠前的元素,将这两个元素放在最靠前的空位置,最后算一下逆序对个数即可。

Day1 B 景点划分

假设 \(a\le b\le c\),于是有 \(a\le \frac{n}{3},b\le\frac{n}{2}\)

任取图的一棵 DFS 树,设这棵树以 \(1\) 为根。假如能找到一个点 \(u\) 满足 \(\mathrm{size}_u\in [a,n-b]\) 或者 \(\mathrm{size}_u\in [b,n-a]\),那么就做完了。因为 \(a\le b\le n-b\le n-a\),所以其实就是要找一个 \(\mathrm{size}_u\in [a,n-a]\)\(u\)

如果没有这样的 \(u\),那么我们需要对生成树做调整。考虑那些 \(\mathrm{size}_u>n-a\)\(u\),因为 \(a\le \frac{n}{3}\),所以这样的 \(u\) 一定分布在以 \(1\) 为端点的一条链上。找到这条链最底下的那个点 \(v\),我们需要将 \(v\) 调整成满足 \(\mathrm{size}_v\le n-a\) 的。此时只有那些一端在 \(v\) 的儿子的子树内,一端在 \(v\) 的祖先上的返祖边是有用的。每条这样的返祖边都可以让 \(\mathrm{size}_v\gets \mathrm{size}_v-\mathrm{size}_x\),其中 \(x\)\(v\) 的某个儿子。

并且,这样调整不会让 \(\mathrm{size}_v<a\),因为 \(n-a-a\ge a\),而 \(v\) 的所有儿子的 \(\mathrm{size}\)\(<a\),所以如果能让 \(\mathrm{size}_v\le n-a\),那么就一定有解,否则一定无解。

Day1 C 矩形区域

一个重要性质是:合法的矩形个数是 \(O(nm)\) 的。

我们统计出对于每个行 \(i\),其中有哪些满足 \(a_{i,l-1},a_{i,r+1}\) 均大于 \([l,r]\) 中的最大值的区间 \([l,r]\)。感性理解,对于每一行,这样的区间个数是 \(O(m)\) 的。

然后枚举矩形的列边界 \([l,r]\)。考虑那些合法区间中有 \([l,r]\) 的行,这样的行会形成若干值域连续段。只需要对于每个值域连续段分别计算即可,因为段间矩形一定不合法。

考虑一个值域连续段,设它在行这一维上包含了 \([L,R]\)。考察一个矩形 \((x_1,L),(x_2,R)\),因为我们已经能保证每行都是合法的了,所以只需要预处理 \(u_{i,j},d_{i,j}\) 表示 \((i,j)\) 顶上/底下那部分中第一个大于等于 \(a_{i,j}\) 的位置,那么这个矩形合法的充要条件就是 \(\min_{L\le j\le R} \{d_{x_1-1,j}\}>x_2\land \max_{L\le j\le R} \{u_{x_2+1,j}\}<x_1\)。于是做一遍二维数点即可统计。

总时间复杂度 \(O(nm\log n)\)

Day2 A 折线

呃。

Day2 B 视觉程序

\(|r_1-r_2|+|c_1-c_2|=K\) 是不好做的,考虑转成切比雪夫距离,\(\max(|r_1-r_2|,|c_1-c_2|)=K\)。这样只需要实现对于 \(k\in \{K-1,K\}\),算出 \(|r_1-r_2|\) 是否 \(\le k\),以及 \(|c_1-c_2|\) 是否 \(\le k\)。这两个都是好实现的。

Day2 C

以后补。

原文地址:https://www.cnblogs.com/alan-zhao-2007/p/ioi-2019-problems.html