「CF1792F2」Graph Coloring (Hard Version)

时间:2023-01-30
本文章向大家介绍「CF1792F2」Graph Coloring (Hard Version)，主要内容包括代码、分析、使用实例、应用技巧、基本知识点总结和需要注意事项，具有一定的参考价值，需要的朋友可以参考一下。

代码

点这里看题目。

有一个 \(n\)​ 个点的无向有标号完全图，你需要给每一条边染上红色或者蓝色。

对于一个点集 \(S\)（\(|S|\ge 2\)），如果仅保留红边时 \(S\) 中的点是连通的，则称 \(S\) 是 R-连通的；相应地可以定义 B-连通。

现在，你需要计算满足以下条件的染色方案数：

  1. 有至少一条染成红色的边，有至少一条染成蓝色的边。
  2. 对于任意一个点集 \(S\)（\(|S|\ge 2\)），\(S\) 必须是 R-连通或者 B-连通，但不能同时是 R-连通和 B-连通。

答案对 \(998244353\) 取模。

所有数据满足 \(1\le n\le 5\times 10^4\)​。

分析

设 \(G=(V,E),E=E_B\cup E_R\)​​，其中 \(E_B,E_R\)​​ 为蓝色边和红色边的边集。则考察 \(V\)​​ 的连通性可以知道，\(G_B=(V,E_B)\)​​ 和 \(G_R=(V,E_R)\)​​​​ 中恰好有一个是不连通的。不妨设 \(G_R\)​ 连通，而 \(G_B\)​​ 不连通，那么 \(V\)​ 被 \(E_B\)​​ 划分为了若干个连通块，且因为 \(E_R=\complement_EE_B\)，\(G_B\) 的确是连通的。

考察连通块的子结构，我们发现在每个连通块内，诱导子图的结构和原图图完全相同，只不过颜色相反。于是，这里的“染色”就有一种“递归”的结构。

所以，设 \(f_n\)​ 为 \(|V|=n\)​ 时可能的 \(E_B\)​ 的数量（包括 \(E_B=\varnothing\)​），设 \(F(x)\)​ 为 \(\{f_n\}\)​ 的 EGF，则可以列一个方程：

\[F=\exp F-F-1+x \]

Note.

写方程的时候需要注意边界的修正。

这里的“递归”结构仅仅在 \(n\ge 2\)​​ 时成立，所以需要对于 \(f_0,f_1\)​ 进行修正。另一方面，需要修正的项事先是已知的，所以修正前的错误值可以被直接算出来。

之后有两种计算方式。其一是写成 \(\exp F-2F+x-1=0\)​，然后牛迭解方程。另一种是变成 \(-\exp F+2F+1=x\)​​，然后用拉格朗日反演算单项。后者在此要简单一些。

复杂度为 \(O(n\log n)\) 或 \(O(n\log^2n)\)。

代码

用的是拉格朗日反演。代码里写的是 \(O(n\log^2n)\)​ 分治算多项式幂。

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>

#define rep( i, a, b ) for( int i = (a) ; i <= (b) ; i ++ )
#define per( i, a, b ) for( int i = (a) ; i >= (b) ; i -- )

const int mod = 998244353;
const int MAXN = ( 1 << 17 ) + 5;

template<typename _T>
inline void Read( _T &x ) {
	x = 0; char s = getchar(); bool f = false;
	while( ! ( '0' <= s && s <= '9' ) ) { f = s == '-', s = getchar(); }
	while( '0' <= s && s <= '9' ) { x = ( x << 3 ) + ( x << 1 ) + ( s - '0' ), s = getchar(); }
	if( f ) x = -x;
}

template<typename _T>
inline void Write( _T x ) {
	if( x < 0 ) putchar( '-' ), x = -x;
	if( 9 < x ) Write( x / 10 );
	putchar( x % 10 + '0' );
}

int F[MAXN], H[MAXN], P[MAXN], Q[MAXN];

int fac[MAXN], ifac[MAXN];

int N;

inline int Qkpow( int, int );
inline int Inv( const int &a ) { return Qkpow( a, mod - 2 ); }
inline int Mul( int x, const int &v ) { return 1ll * x * v % mod; }
inline int Sub( int x, const int &v ) { return ( x -= v ) < 0 ? x + mod : x; }
inline int Add( int x, const int &v ) { return ( x += v ) >= mod ? x - mod : x; }

inline int& MulEq( int &x, const int &v ) { return x = 1ll * x * v % mod; }
inline int& SubEq( int &x, const int &v ) { return ( x -= v ) < 0 ? ( x += mod ) : x; }
inline int& AddEq( int &x, const int &v ) { return ( x += v ) >= mod ? ( x -= mod ) : x; }

inline int C( int n, int m ) { return n < m ? 0 : Mul( fac[n], Mul( ifac[m], ifac[n - m] ) ); }

inline int Qkpow( int base, int indx ) {
	int ret = 1;
	while( indx ) {
		if( indx & 1 ) MulEq( ret, base );
		MulEq( base, base ), indx >>= 1;
	}
	return ret;
}

namespace Basics {
	const int L = 17, g = 3, phi = mod - 1;

	int w[MAXN];

	inline void NTTInit( const int &n = 1 << L ) {
		w[0] = 1, w[1] = Qkpow( g, phi >> L );
		rep( i, 2, n - 1 ) w[i] = Mul( w[i - 1], w[1] );
	}

	inline void DIF( int *coe, const int &n ) {
		int *wp, p, e, o;
		for( int s = n >> 1 ; s ; s >>= 1 )
			for( int i = 0 ; i < n ; i += s << 1 ) {
				p = ( 1 << L ) / ( s << 1 ), wp = w;
				for( int j = 0 ; j < s ; j ++, wp += p ) {
					e = coe[i + j], o = coe[i + j + s];
					coe[i + j] = Add( e, o );
					coe[i + j + s] = Mul( *wp, Sub( e, o ) );
				}
			}
	}

	inline void DIT( int *coe, const int &n ) {
		int *wp, p, k;
		for( int s = 1 ; s < n ; s <<= 1 )
			for( int i = 0 ; i < n ; i += s << 1 ) {
				p = ( 1 << L ) / ( s << 1 ), wp = w;
				for( int j = 0 ; j < s ; j ++, wp += p )
					k = Mul( *wp, coe[i + j + s] ),
					coe[i + j + s] = Sub( coe[i + j], k ),
					coe[i + j] = Add( coe[i + j], k );
			}
		std :: reverse( coe + 1, coe + n );
		int inv = Inv( n ); rep( i, 0, n - 1 ) MulEq( coe[i], inv );
	}
}

inline void Init( const int &n ) {
	Basics :: NTTInit();
	fac[0] = 1; rep( i, 1, n ) fac[i] = Mul( fac[i - 1], i );
	ifac[n] = Inv( fac[n] ); per( i, n - 1, 0 ) ifac[i] = Mul( ifac[i + 1], i + 1 );
}

void Divide( const int &l, const int &r ) {
	if( l == r ) {
		if( ! l ) H[0] = Qkpow( F[0], mod - 1 - N );
		else MulEq( H[l], Inv( mod - l ) );
		return ;
	}
	int mid = ( l + r ) >> 1, L;
	Divide( l, mid );

	for( L = 1 ; L <= r - l ; L <<= 1 );
	rep( i, 0, L - 1 ) P[i] = Q[i] = 0;
	rep( i, l, mid ) P[i - l] = H[i];
	rep( i, 1, r - l ) Q[i] = Mul( F[i], i );
	Basics :: DIF( P, L );
	Basics :: DIF( Q, L );
	rep( i, 0, L - 1 ) MulEq( P[i], Q[i] );
	Basics :: DIT( P, L );
	rep( i, mid + 1, r ) AddEq( H[i], Mul( N, P[i - l] ) );

	rep( i, 0, L - 1 ) P[i] = Q[i] = 0;
	rep( i, l, mid ) P[i - l] = Mul( H[i], i );
	rep( i, 1, r - l ) Q[i] = F[i];
	Basics :: DIF( P, L );
	Basics :: DIF( Q, L );
	rep( i, 0, L - 1 ) MulEq( P[i], Q[i] );
	Basics :: DIT( P, L );
	rep( i, mid + 1, r ) AddEq( H[i], P[i - l] );

	Divide( mid + 1, r );
}

int main() {
	Read( N ), Init( N );
	rep( i, 1, N ) F[i - 1] = mod - ifac[i];
	AddEq( F[0], 2 );
	Divide( 0, N - 1 );
	Write( Mul( 2, Sub( Mul( fac[N - 1], H[N - 1] ), 1 ) ) ), putchar( '\n' );
	return 0;
}

原文地址：https://www.cnblogs.com/crashed/p/17077056.html

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