向量内积和向量点积的关系及点积的几何意义。

时间:2022-09-23
本文章向大家介绍向量内积和向量点积的关系及点积的几何意义。,主要内容包括以二维为例子:、以高维为例子:、点积的几何意义、使用实例、应用技巧、基本知识点总结和需要注意事项,具有一定的参考价值,需要的朋友可以参考一下。

以二维为例子:

首先,向量内积的定义为:

\[a·b = |a||b|cos\theta \tag{1.1}\label{1.1} \]

其中,

\[a = (a_1,a_2)\\ b = (b_1,b_2) \]

根据余弦定理:

\[cos\theta = \frac{|b|^2+|a|^2-|c|^2}{2|a||b|} \tag{1.2}\label{1.2}\]

其中,

\[c = b-a = (b_1-a_1,b_2-a_2) \tag{1.3}\label{1.3} \]

综合\(\eqref{1.1}\)\(\eqref{1.2}\)\(\eqref{1.3}\)

\[\begin{aligned} a·b &= |a||b|*\frac{|b|^2+|a|^2-|b-a|^2}{2|a||b|}\\ &= \frac{b_1{^2}+b_2{^2}+a_1{^2}+a_2{^2}-((b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2)}{2}\\ &= \frac{b_1{^2}+b_2{^2}+a_1{^2}+a_2{^2}-(b_1{^2}+a_1{^2}-2b_1a_1+b_2{^2}+a_2{^2}-2b_2a_2)}{2}\\ &= a_1b_a+a_2b_2 \end{aligned} \]

所以,向量点积应该是在向量内积的基础之上推导出来的。

现在让我们来看看高维度的情况:

以高维为例子:

令:

\[\begin{aligned} a &= (a_1,a_2,\cdots,a_n)\\ b &= (b_1,b_2,\cdots,b_n) \end{aligned} \]

向量内积定义为:$$a·b = |a||b|cos\theta \tag{2.1}$$
其中:

\[cos\theta = \frac{|b|^2+|a|^2-|c|^2}{2|a||b|} \tag{2.2}\label{2.2} \]

那么:

\[\begin{aligned} a·b &= |a||b|*\frac{|b|^2+|a|^2-|b-a|^2}{2|a||b|}\\ &= \frac{b_1{^2}+b_2{^2}+\cdots+b_n{^2} +a_1{^2}+a_2{^2}+\cdots+a_n{^2} -((b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+\cdots+(b_n-a_n){^2})}{2}\\ &= \frac{b_1{^2}+b_2{^2}+\cdots+b_n{^2} +a_1{^2}+a_2{^2}+\cdots+a_n{^2} -(b_1{^2}+a_1{^2}-2b_1a_1+b_2{^2}+a_2{^2}-2b_2a_2+\cdots+b_n{^2}+a_n{^2}-2b_na_n)}{2}\\ &=\frac{2b_1a_1+2b_2a_2+\cdots+2b_na_n}{2}\\ &= a_1b_a+a_2b_2+\cdots+b_na_n \end{aligned} \]

所以,内积的结果,可以被转化为坐标对应位置的元素的乘积之和,这种乘积之和称为点积

点积的几何意义

\(\ref{2.2}\)可知,若点积为0,那么\(cos\theta\)为0,即两个向量垂直。

原文地址:https://www.cnblogs.com/hisi-tech/p/16721652.html