简单易懂的manacher算法讲解
manacher
求最长回文子串的算法(顺便还能求出来以每个点为中心的最长回文子串)
介绍
先来一道模板题:P3805 【模板】manacher 算法
先考虑一下小学二年级都会的纯暴力解法:以每个字符为中心,向左右扩展直到左右端点不相等为止,这时遍历出来的字符串长度记为这个点的答案,最后结果即为所有点答案取max
很显然,这个方法有两个问题:
- 无法处理偶数长度的回文字符串。如回文字符串ABBA,实际上不存在一个字符中心可以向外扩展,按照我们的算法,从A、B、B、A四个点扩散出去的答案均为1。当然这个问题并不致命,我们只需要两个字符中间也往外扩展即可。
- 时间复杂度 \(\Theta(n^2)\) ,稍微大一点的数据都过不了,直接T飞
过不去那道题?
事实:他数据很大
而暴力是 \(n^2\)
它 最 慢 了!
介绍——马拉车manacher!
首先针对第一个问题,manacher有一个非常巧妙的处理办法:
在每两个字符之间插进去一个统一的字符,比如说'#'。比如我们上文提到的"ABBA",在做完之后就变成了这样的字符串:"#A#B#B#A#",而"ABA"则变成了"#A#B#A#"。
发现什么了吗?原来长度为奇数的回文字符串中心不变,偶数的回文字符串变成了以'#'为中心的长度为奇数的回文串,而假设我们得到的回文串长度为 \(n\),由于除法向下取整,答案就直接是 \(n/2\),我们就可以愉快地向左右枚举了
怎么降低复杂度呢?当然是用万能的字符串哈希了
我们仍然考虑从左往右枚举,只不过这次用 \(len_i\) 记录以每个 \(i\) 为中点的回文串半径(注意:对于只有一个字符的回文串,\(len_i=1\)),用一个变量 \(r\) 记录一下目前处理过的所有点中,最靠右的回文串右端点的右边一个点,再用变量 \(c\) 记录一下该回文串的中点
这个有什么用呢?首先考虑到我们处理到了某一个点 \(i\),首先,所有 \(j<i\) 都已经被处理完成了。如果满足 \(i<r\),那么对于 \(i\) 关于 \(c\) 的对称点 \(i'\),都有 \(len_i>=len_i-1\)
为什么呢?先看下面一张图
\(l\) 为 \(c\) 区间的左端点,左边的黄框为以 \(i'\) 为中心的最长回文串。由于c是最长的回文子串,那么红线连着的两块是对称的,而黄框又关于 \(i'\) 对称,所以照到右边来也是关于 \(i\) 对称的,也就是说 \(len_i\) 最少也得是 \(len_{i'}\)
而由于黄框为最长回文串,所以黄框左右两边的字符一定不同(不然最长回文串长度还能再加),所以对称过去 \(i\) 的黄框左右字符也不同,所以 \(len_i=len_{i'}\)
当然这是黄框没有超过 \(l,r\) 的情况,假如黄框超过了(如下图),那该怎么处理呢?
很简单:直接从 \(r\) 开始(显然在 \(r\) 以前的都能左右配上),暴力往右枚举配对左右端点即可,记得边枚举边更新 \(r\) 和 \(c\)。乍一听这个复杂度会爆炸,别急,我们分析一下复杂度
首先,对于黄框没有超过 \(r\) 的情况,转移显然是 \(\Theta(1)\) 的
考虑黄框超过 \(r\) 的情况,每一次要么往右更新一步(这会使 \(r\) 增加),要么发现左右匹配不上直接break。而 \(r\) 显然是不断递增的,最远也只能到达字符串端点,所以时间复杂度为 \(\Theta(n)\)
而当 \(i>r\) 时,先把 \(len_i\) 赋值为1,再按照黄框超过 \(r\) 的情况处理就好了
基本思想已经介绍完了,上代码
manacher
s[0]=114514;
for(int i=0;i<stmp.size();i++){
s[++cnt]=stmp[i];
s[++cnt]=114514;//我这里为了更好操作用的int来存字符串,所以间隔符可以乱填,一般情况下都用的是'#'
}
n=cnt;
for(int i=0;i<=n;i++){
if(i<R) len[i]=min(2*C-i>=0?len[2*C-i]:0,R-i-1);
//当黄框不超过r时,他就等于i'的len,否则从r开始枚举。
//注意由于我len[1]设定为1所以i+len[i]实际上指到的是回文串右端点右边的点,所以要R-i-1
else len[i]=1;
for(;i+len[i]<=n&&i-len[i]>=0&&s[i+len[i]]==s[i-len[i]];len[i]++);
//一行的暴力向右推
if(i+len[i]>R) R=i+len[i],C=i;
//更新R,C
ans=max(len[i],ans);
}
原文地址:https://www.cnblogs.com/WhangZjian/p/16743080.html
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