题解 D. The Pool "蔚来杯"2022牛客暑期多校训练营7

出题人的题解实在是无法令人恭维，特此写一份自己的题解

【大意】

\(T\) 次询问，每次询问给定 \(n, m(1\leq n,m\leq 10^{18})\) ，问长宽分别为 \(n, m\) 的矩形顶点摆放在整点后；所有不同摆放方案中，每个方案完全包含的 \(1\times 1\) 格子数量的和是多少？

我们认为两个方案不同，当且仅当一个方案的矩形无法仅通过平移变换，得到另一个方案。

【分析】

我们将矩形 \(ABCD\) 的一个顶点放置在原点上，设 \(AB=n, AD=m\) ，则 \(B\) 点的点坐标需要满足 \(x_B^2+y_B^2=n^2\)

如果我们能找到所有满足条件的点坐标，那它们显然都是答案的候选（可能有的方案能通过别的方案平移得到、有的方案无法使得 \(D\) 在整点）

因此，当前的问题即是：给定 \(l\) ，如何求解所有满足 \(x_B^2+y_B^2=l\) 的点

转化一下问题，由于二维平面上的整点能唯一地对应复平面上，满足 \(\Re z, \Im z\in Z\) 的所有复数 \(z\) 。因此，我们可以直接以高斯整数 \(Z[i]\) 的方式描述待求问题：

求解有多少个高斯整数 \(z=x_B+i\cdot y_B\) ，使得 \(z\cdot \bar z=l\)

我们考虑将 \(l\) 进行质因数分解，显然可以将 \(l\) 分解为 \(\displaystyle l=2^{c_2}\cdot \prod_i p_i^{k_i} \cdot \prod_i q_i^{t_i}\) 的形式，其中 \(c_2\geq 0, k_i, t_i>0, q_i\) 为 \(4n+3\) 型质数，\(p_i\) 为 \(4n+1\) 型质数

根据高斯质数的规律，\(2=(1+i)(1-i), q_i\) 无法继续分解，而 \(p_i\) 能进一步分解为两个共轭的高斯质数 \((a+bi),(a-bi)\) 的乘积

为了对 \(p_i\) 进行高斯质数意义上的质因数分解，我们可以随机一个 \(t\neq 0\pmod {p_i}\) ，再令 \(\displaystyle k=t^{p_i-1\over 4}\bmod p_i\) 。根据二次剩余的理论，\(k^2\equiv \pm 1\pmod {p_i}\) ，取值为 \(-1\) 的概率恰为 \({1\over 2}\) 。

所以，我们期望两次随机，就能选出一个 \(k\) ，使得 \(k^2\equiv -1\pmod {p_i}\) ，即 \(p_i\mid (k^2+1)\) 。由于在 \(Z[i]\) 上，\(k^2+1=(k+i)(k-i)\) ，故有 \(p_i\mid (k+i)(k-i)\)

而

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