均值不等式

定义

均值不等式，同称平均值不等式，也可称为基本不等式。其内容为：

\[H_n\leqslant G_n\leqslant A_n\leqslant Q_n \]

即 调和平均数 $\leqslant$ 几何平均数 $\leqslant$ 算术平均数 $\leqslant$ 平方平均数 。

具体一点

上面式子中的每个字母的具体意义如下：

\[\\H_n=\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i}}=\frac{1}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+...+\frac{1}{x_n}} \\G_n=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}x_i}=\sqrt[n]{x_1x_2...x_n} \\A_n=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n} \\Q_n=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i^2}{n}}=\sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+...x_n^2}{n}} \]

证明

从简单点开始：二次

预备定理

可以通过弦图或是代数证明：

\[(a-b)^2\geqslant0\\ a^2-2ab+b^2\geqslant0\\ a^2+b^2\geqslant2ab \]

证明1：算术平均数大于等于几何平均数

令 x 等于 $a^2$，y 等于 $b^2$，根据预备定理，那么有：$x+y\geqslant 2\sqrt{xy}$

即：$\frac{x+y}{2}\geqslant \sqrt{xy}$ ，记为结论1.

证明2：几何平均数大于等于调和平均数

有式子 $\frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}$ （即为调和平均数），上下同时乘以 $xy$ ，式子值不变，变为 $\frac{2xy}{x+y}$ 。

由结论1得：$\frac{x+y}{2}\geqslant \sqrt{xy}$ ，

右式转化可得：$\sqrt{xy}=\frac{2xy}{2\sqrt{xy}}\le \frac{x+y}{2}$ ，其值不变。

又因为： $x+y\ge 2\sqrt{xy}$ ，两个式子的分母为 $x+y$ 和 $2\sqrt{xy}$

所以在分母上，前者大于等于后者，而分子相同，所以在数值上，有$\frac{2xy}{x+y}\le \frac{2xy}{2\sqrt{xy}}$

那么，可得 $\frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}} \le \sqrt{xy}$

证明3：平方平均数大于等于算术平均数

若：$\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}\ge \frac{x+y}{2}$ ，那么应有：$\frac{x^2+y^2}{2} \ge \frac{(x+y)^2}{4}$

通分得：$ x^2+y2\ge(x+y)^2/2$

拆项得：$x^2+y^2\ge \frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+xy$

整理，可得: $x^2+y^2\ge 2xy$

同预备定理，故成立。

进阶：三次

算数平均数大于几何平均数

三次项下的算数平均数为 $\frac{a+b+c}{3}$ ,几何平均数为 $\sqrt[3]{abc}$ ，试证明：$\frac{a+b+c}{3}\ge \sqrt[3]{abc}$

若：$x^3+y^3+z^3-3xyz \ge 0$ ，那么：

将上式因式分解得：

\[=(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3-3xyz\\ =(x+y)^3+z^3-3xy(x+y+z)\\ =((x+y)+z)^3-3(x+y)z((x+y)+z)-3xy(x+y+z)\\ =(x+y+z)^3((x+y+z)^2-3(x+y)z-3xy)\\ =(x+y+z)(x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz-3xy-3xz-3yz)\\ =(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)\\ =\frac{1}{2}(x+y+z)((x-y)^2+(x-z)^2+(y-z)^2) \]

由于：均值不等式的讨论范围在于全体正数，所以前面的因式大于零，而后面的因式必大于等于零，故整个式子大于等于零，反证成立。

因此：$x^3+y^3+z^3-3xyz\ge0$ 是正确的。

那么，令 $a=x^3,b=y^3,c=z^3$，可以转化为:

$a+b+c-3\sqrt[3]{abc}\ge0$ , 即$\frac{a+b+c}{n}\ge\sqrt[3]{abc}$

故命题成立。

其他

另外几个就留给大家做练习吧，我就不打扰了（其实就是不会证明）。