P2520 [HAOI2011]向量 题解

转换题意

为了表述方便，我们设目标向量为 \((s_1,s_2)\)，和题目描述稍有差别。

我们首先只考虑目标向量的横坐标。由于横坐标为 \(a\)，\(-a\)，\(b\)，\(-b\) 的向量均可任意使用，我们可以得到一个不定方程 \(xa+yb=s_1\)。

之后，我们再考虑目标向量的纵坐标，由于 \(x+k-k=x\)，我们可以得到第二个不定方程 \((x+2k_1)b+(y+2k_2)a=s_2\) 。

联立上述两个不定方程，题意便转化为了这两个不定方程是否有解。

数学推理

单独考虑第一个不定方程，根据扩欧相关知识，我们可以知道该不定方程有解当且仅当 \(\gcd(a,b)\ |\ s_1\)，直接判断即可。

然后，我们设第一个不定方程的特解为 \(x_0\)，\(y_0\)，那么其通解为 \(x_0+k \frac{b}{\gcd(a,b)}\)，\(y_0-k\frac{a}{\gcd(a,b)}\)。

把通解带入第二个不定方程，得 \((x_0+k \frac{b}{\gcd(a,b)}+2k_1)b+(y_0-k\frac{a}{\gcd(a,b)}+2k_2)a=s_2\)

移项和整理，得 \(2k_1b+2k_2a=s_2-x_0b-y_0a+k(\frac{a^2-b^2}{\gcd(a,b)})\)

把\(k\)视作已知，故原不定方程有解当且仅当 \(\gcd(2a,2b)\ |\ [s_2-x_0b-y_0a+k(\frac{a^2-b^2}{\gcd(a,b)})]\)

即 \(s_2-x_0b-y_0a+k(\frac{a^2-b^2}{\gcd(a,b)})=-t\gcd(2a,2b)\)

再移项，得 \(t\gcd(2a,2b)+k(\frac{a^2-b^2}{\gcd(a,b)})=s_2-x_0b-y_0a\)

这又是一个不定方程，其有解当且仅当\(\gcd(\gcd(2a,2b),k(\frac{a^2-b^2}{\gcd(a,b)}))\ |\ s_2-x_0b-y_0a\)

该不定方程有解时，原不定方程也一定有解。

结论

当且仅当 \(\gcd(a,b)\ |\ s_1\) 且 \(\gcd(\gcd(2a,2b),k(\frac{a^2-b^2}{\gcd(a,b)}))\ |\ s_2-x_0b-y_0a\) 时，目标向量可以被表示。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define int long long
using namespace std;
inline int r()
{
	int s=0,k=1;char c=getchar();
	while(!isdigit(c))
	{
		if(c=='-')k=-1;
		c=getchar();
	}
	while(isdigit(c))
	{
		s=s*10+c-'0';
		c=getchar();
	}
	return s*k;
}
int q,x,y,s1,s2;
int exgcd(int a,int b)
{
	if(!b)
	{
		x=1;y=0;
		return a;
	}
	int g=exgcd(b,a%b);
	int tmp=x;
	x=y;
	y=tmp-y*(a/b);
	return g;
}
signed main()
{
	int a,b;
	q=r();
	for(int i=1;i<=q;i++)
	{
		a=r();b=r();s1=r();s2=r();
		int g=exgcd(a,b);
		if(s1%g)
		{
			cout<<"N"<<endl;
			continue;
		}
		s1/=g;
		int x0=x*s1,y0=y*s1;
		int g1=exgcd(2*a,2*b);
		x0=(x0%g1+g1)%g1;
		y0=(y0%g1+g1)%g1;
		int c=s2-x0*b-y0*a;
		c=(c%g1+g1)%g1;
		int gg=exgcd((a*a-b*b)/g,g1);
		if(c%gg)
		{
			cout<<"N"<<endl;
			continue;
		}
		cout<<"Y"<<endl;
	}
}