莫比乌斯反演入门

时间:2021-07-18
本文章向大家介绍莫比乌斯反演入门,主要包括莫比乌斯反演入门使用实例、应用技巧、基本知识点总结和需要注意事项,具有一定的参考价值,需要的朋友可以参考一下。

莫比乌斯反演

前置知识:容斥 整除分块

参考:莫比乌斯反演 - pengym - 博客园

莫比乌斯函数

设正整数 \(N\) 按照算术基本定理分解质因数为 \(N=\Pi_{i=1}^m p_i^{c_i}\) ,定义函数:

\[\begin{equation} \mu(N)= \left\{ \begin{array}{lr} 0,&\exist i\in[1,m],c_i>1\\ 1,&m\equiv 0(\bmod 2),\forall i\in[1,m],c_i=1\\ -1,&m\equiv 1(\bmod 2),\forall i\in[1,m],c_i=1\\ \end{array} \right. \end{equation} \]

我们称 \(\mu(N)\) 为莫比乌斯函数

通俗地讲,当 \(N\) 包含相等的质因子时, \(\mu(N)=0\)

\(N\) 的所有质因子各不相同时,若 \(N\) 有偶数个质因子,\(\mu(N)=1\)

​ 若 \(N\) 有奇数个质因子,\(\mu(N)=-1\)

它有一些性质:

  1. 对于任意正整数 \(n\)\(\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]\)

    \([n=1]\) 表示只有当 \(n=1\) 成立时,返回值为 \(1\);否则,值为 \(0\))

简单地证明一下:

\(n=1\) 时显然成立

对于 \(n\neq1\) 的情况:

证明一:对于一个 \(p_i\) 强制选或不选,其他随便,会产生 奇数/偶数 个质因子两种情况,抵消为 \(0\)

证明二:若 \(d\) 中含 \(p_i^{a_i},a_i>=2\) ,即 \(\mu(d)=0\) 忽略

那么, \(\mu\) 的取值仅仅与质因数个数有关

\((i)\) \(n\) 有奇数个(\(x\)个)质因数

\(\sum_{d|n}\mu(d)=-1\times(C_x^1+C_x^3+C_x^5...+C_x^x)+(C_x^2+C_x^4+...+C_x^{x-1})\)

又有:\(C_x^y=C_x^{x-y}(y<x)\) 全部抵消

\((ii)\) \(n\) 有偶数个质因数:同理。

  1. 对于任意正整数 \(n\)\(\sum_{d|n}\frac{μ(d)}d=\frac{ϕ(n)}n\)

从略。(不会)

程序实现并不难,我们可以在线性筛素数的程序上略作修改,便可以筛出 \(μ\) 函数

void get_mu(int n)
{
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!vis[i]){prim[++cnt]=i;mu[i]=-1;}
        for(int j=1;j<=cnt&&prim[j]*i<=n;j++)
        {
            vis[prim[j]*i]=1;
            if(i%prim[j]==0)break;
            else mu[i*prim[j]]=-mu[i];
        }
    }
 }

莫比乌斯反演

定理\(F(n)\)\(f(n)\) 是定义在非负整数集合上的两个函数,并且满足条件:\(F(n)=\sum_{d|n}f(d)\)

那么存在一个结论:\(f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)F(\lfloor \frac nd \rfloor)\)

莫比乌斯反演定理

我们可以通过定义证明它:

\[\sum_{d|n}\mu(d)F(\lfloor \frac nd \rfloor)=\sum_{d|n}\mu(d)\sum_{i|\lfloor\frac nd\rfloor}f(i)=\sum_{i|n}f(i)\sum_{d|\lfloor\frac nd\rfloor}\mu(d)=f(n) \]

它的另外一种形式是:当 \(F(n)\)\(f(n)\) 满足:\(F(n)=\sum_{n|d}f(d)\)

可以推出:\(f(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac dn)F(d)\)

感觉这个式子,可能在莫比乌斯反演中更加好用。

题目

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原文地址:https://www.cnblogs.com/wyb-sen/p/15027818.html