动态规划_备忘录法_矩阵链乘问题

时间:2021-07-12
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问题描述

给定nn个矩阵{A1,A2,A3,...,An}{A1,A2,A3,...,An},其中AiAi为Pi1×PiPi−1×Pi矩阵,i=1,...,ni=1,...,n,并且AiAi与Ai1Ai−1是可乘的。由于矩阵乘法满足结合律,所以计算矩阵的链乘可有许多不同的计算次序,两个矩阵Ai×jAi×j与Aj×kAj×k相乘的工作量为i×j×ki×j×k次数乘。
给定向量P=<P0,P1,...,Pn>P=<P0,P1,...,Pn>为nn个矩阵的行数和列数,确定一种乘法次序,使得基本运算“数乘”的总次数最少。

完全加括号

完全加括号的矩阵链乘积可递归地定义为:

  • 单个矩阵是完全加括号的
  • 矩阵链乘积AA是完全加括号的,则AA可表示为两个完全加括号的矩阵链乘积BB和CC的乘积,并加括号,即A=(BC)A=(BC)

最优子结构

  • 矩阵链乘AiAi+1...AjAiAi+1...Aj简记为Ai...j,ijAi...j,i≤j,于是矩阵链乘A1A2...AnA1A2...An可记为A1...nA1...n,完全加括号形式为A1...n=A1...kAk+1...n,1k<nA1...n=A1...kAk+1...n,1≤k<n
  • 矩阵连乘A1...nA1...n的最优计算次序的计算量等于A1...kA1...k和Ak+1...nAk+1...n两者的最优计算次序的计算量之和,再加上A1...kA1...k和Ak+1...nAk+1...n相乘的计算量。矩阵链乘问题的最优解具有最优子结构特性。

最优解的递推关系

  • ii和jj确定子问题的边界,输入P=<P0,P1,...Pn>P=<P0,P1,...Pn>
Ai...j=Ai...kAk+1...j,k=i,i+1,...,j1Ai...j=Ai...kAk+1...j,k=i,i+1,...,j−1
  • 确定优化函数和递推方程:二维数组mm用来保存矩阵链乘时所需的最小计算量
m[i][j]={minik<j{m[i][k]+m[k+1][j]+Pi1PkPj}0if i<jif i=jm[i][j]={mini≤k<j{m[i][k]+m[k+1][j]+Pi−1PkPj}if i<j0if i=j
  • 设立标记函数:为了确定加括号的次序,设计表s[i,j]s[i,j]记录求得最优时,最后一次运算的位置,即m[i][j]m[i][j]达到最小时kk的划分。

算法描述(伪代码)

  • 迭代实现 备忘录法
haskell
MatrixChain(P,n)
	令所有m[i,j]的初值为0;
	for r <- 2 to n   do
		for i <- 1 to n-r+1  do
			j <- i+r-1;
			m[i,j] <- m[i+1,j]+P_i-1P_iP_j;
			s[i,j] = i;
			for k <- i+1 to j-1  do
				t <- m[i,k]+m[k+1,j]+P_i-1P_kP_j;
				if t < m[i,j]
					then m[i,j] <- t;
						 s[i,j] <- k;

结束语

醉后不知天在水,满船清梦压星河

作者:花城

原文地址:https://www.cnblogs.com/wl-blog/p/15000956.html