【题解】[AHOI2013]差异

[AHOI2013]差异

\(\text{Solution:}\)

观察一下原式：

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^n \text{len}(i)+\text{len}(j)-2\text{lcp}(i,j) \]

我们发现前面那个 \(\text{len}(i)+\text{len}(j)\) 好求。主要是后面的东西：两个后缀的 \(\text{LCP}\) 怎么求。

两个后缀的最长公共前缀……这个式子又长得很像树上的东西……后缀树似乎可以做这件事。

考虑一下后缀树的性质：每一个叶子节点表示一个后缀（注意这里的叶子节点是指每一个后缀都显式地表现了出来），同时任意一个节点到根的路径都是对应一个后缀的前缀。

那么两个后缀的 \(\text{LCP}\) 不就是对应后缀树上的 \(LCA!\)

考虑一个 \(dp,\) 直接把 \(2\times LCP(i,j)\) 都算出来：设 \(f[i]\) 表示子树 \(i\) 的答案，若这个点不是后缀，那么就算出其 \(siz\) 后枚举孩子，计算 \(\sum_{v\in son[x]} siz[v]\times(siz[x]-siz[v])\times len[x]\) 就是对的。因为每一对都算了两次。

那么，如果当前点是一个，被某一个后缀所压缩掉的后缀信息，也即非显式表达出来的后缀呢？

那么注意到，上述 \(dp\) 计算中实际上只计算了每一个叶子和它求 一次 \(LCP\) 的贡献。

因为你无论枚举了哪一棵子树，这个当前的根，必然在这棵子树的外层，也就是对应每一棵子树的叶子，只会和它计算一次贡献。

所以我们需要在最后加上这一层贡献。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N=1e6+10;
typedef long long ll;
namespace SAM{
    int len[N],pa[N],ch[N][26],tot=1,last=1,f[N];
    ll siz[N],ans;
    vector<int>G[N];
    void insert(const int &c){
        int p=last;
        int np=++tot;
        last=tot;siz[np]=1;
        len[np]=len[p]+1;
        for(;p&&!ch[p][c];p=pa[p])ch[p][c]=np;
        if(!p)pa[np]=1;
        else{
            int q=ch[p][c];
            if(len[q]==len[p]+1)pa[np]=q;
            else{
                int nq=++tot;
                memcpy(ch[nq],ch[q],sizeof ch[q]);
                pa[nq]=pa[q];pa[q]=pa[np]=nq;
                len[nq]=len[p]+1;
                for(;p&&ch[p][c]==q;p=pa[p])ch[p][c]=nq;
            }
        }
    }
    void dfs(int x){
        int psiz=siz[x];
        for(auto i:G[x]){
            dfs(i);
            siz[x]+=siz[i];
        }
        for(auto i:G[x]){
            ans+=siz[i]*(siz[x]-siz[i])*len[x];
            printf("%d ::%d %d\n",x,siz[x],siz[i]);
        }
        printf("%lld:%lld %lld len: %lld lenfa:%lld pa:%lld\n",x,psiz,siz[x],len[x],len[pa[x]],pa[x]);
        ans+=1ll*psiz*(siz[x]-psiz)*len[x];
    }
    void BuildTree(){
        for(int i=2;i<=tot;++i)G[pa[i]].push_back(i);
        dfs(1);
    }
}
char s[N],t[N];
int slen;
signed main(){
    scanf("%s",s+1);
    slen=strlen(s+1);
    for(int i=1;i<=slen;++i)t[slen-i+1]=s[i];
    for(int i=1;i<=slen;++i)putchar(t[i]);
    puts("");
    for(int i=1;i<=slen;++i)SAM::insert(t[i]-'a');
    SAM::BuildTree();
    ll sum=0;
    for(int i=1;i<=slen;++i)sum+=(slen-1)*(slen-i+1);
    printf("%lld\n",sum-SAM::ans);
    return 0;
}