莫比乌斯反演学习笔记

刚接触这些东西感觉整个人都不好了
由于涉及大量公式所以将大面积粘贴各种图片，基本来自wiki

两个引理

证明就是利用向下取整把后面的\(r\)搞没了

对于任意\(d\)取便整数集合，\(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor\)最多仅有\(2 \sqrt{n}\)种取值
证明比较直观就不解释了
这个东西主要作用是数论分块
也就是你找出连续的一段，这段里的\(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor\)都一样，就能快速算
每次先用上一次的右边界加上1作为现在的左边界，用\(\lfloor \frac{n}{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor} \rfloor\)作为右边界，就可以的到一个区间，常用与计算最终答案

积性函数

在whk中有做过这方面的题，定义主要是方便理解，记住关键是乘积

前面几个就是对积性函数进行各种变换之后还是积性函数，后面就是质因数分解了
接下来是几个常用函数：
单位函数：\(\varepsilon(n)=[n=1]\)
恒等函数：\(id(n)=n\)
常数函数：\(I(n)=1\)
约数函数：\(\sigma_{k}(n)=\sum_{d\mid n}d^{k}\),\(\sigma_0 n=d(n)\)
欧拉函数：\(\varphi(n)=\sum_{i=1}^n [\gcd(i,n)=1]\)
莫比乌斯函数:\(\mu(n) = \begin{cases}1 & n=1 \\ 0 & \exists d>1,d^{2} \mid n \\ (-1)^{\omega(n)} & \texttt{otherwise}\end{cases}\)
\(\omega(n)\)表示\(n\)的本质不同质因子个数

卷积

于是得到以下性质：

然后对于上面的几个函数有这么几个柿子

\[\varepsilon=\mu * I \]

\[d=I* I \]

\[\varphi=\mu*id \]

\[id=\varphi*I \]

前两个根据函数定义带进去就能证
第三个
相当与一开始假定不能整除的有\(n\)个，然后减去因子，再补上减多的，相当与一个容斥
最后一个只要两边都卷一个\(\mu\)再利用上面的柿子就有了
这个玩意的主要用途是各种化简柿子

莫比乌斯函数

乍一看为啥搞了个这东西，因为他有用，能化简各种毒瘤式子
一个性质：

证明一下，如果在枚举的\(d\)中一旦出现了2个以上相同质因子，必定没贡献
所以只要考虑\(n\)的所有次数为1的因子的贡献是0还是1
枚举\(d\)，考虑这时函数值只与的的质因子个数有关
改变枚举方向，枚举质因子数\(cnt\)，则有：

\[\sum_{c=0}^{cnt}\dbinom{cnt}{c}\times (-1)^c \]

二项式定理把它变成（1-1）^{cnt}，就是单位函数
然后是最重要的一个结论：

证明用上面的性质很好推出来，做题基本靠他

莫比乌斯反演

证明可以推式子再结合实际意义，不过直接卷也能证
高级一点的推柿子要用到

还有一个博客感觉比较适合入门

线性筛

基本所有积性函数和一些非积性函数可以用线性筛出来
由于没做题就先咕了，剩下的做点题有感觉了再说