Codeforces 1566E Buds Re-hanging

原题链接 Codeforces Global Round 16 E. Buds Re-hanging

首先想到，如果我们把一个\(buds\)挂到一个叶子上，那么会使得叶子总数减\(1\)。
还有就是如果我们可以把这个树搞成一条链，那么总叶子数一定是最少的，就是让树“越瘦越好”。

如果原来一个\(buds\)挂在一个没有其他孩子的结点上，我们拿走这个\(buds\)之后会使得总叶子数加\(1\)，我们称这个结点为 \(\alpha\)，如果一个buds挂在一个有其他孩子的节点上，那么拿走这个\(buds\)总叶子数不会改变，我们称这个结点为\(\beta\)。

我们考虑把所有的\(buds\)全挂在\(root\)上，那么这样做会使结果变坏吗？当然不会

1. 如果一个\(buds\)挂在一个\(\beta\)结点上，那么拿走后总叶子数不变。
2. 如果一个\(buds\)挂在一个\(\alpha\)结点上，那么拿走后总叶子数会加\(1\)，但是我们完全可以再搞一个\(buds\)挂在\(\alpha\)结点上，这样就叶子总数又减少了。

全挂在\(root\)上之后，我们考虑再将其变成一条链子，怎么变呢？

首先设总结点数为\(n\)，\(buds\)数为\(k\)，那么由于所有\(buds\)全挂在了\(root\)上，那么现在的叶子数就是\(n - k - 1\)
情况一：如果\(root\)上有一个叶子结点， 那么我们不妨把\(k\)个\(buds\)依次全挂到这个叶子节点上，那么我们挂一次少一个叶子，那么答案就是\(n - k - 1 - k\)
情况二：如果\(root\)上没有叶子结点，那么我们就把\(k - 1\)个\(buds\)都依次挂到一个\(bud\)上就行，那么答案就是\(n - k - 1 - (k - 1)\)

代码：

// Problem: E. Buds Re-hanging
// Contest: Codeforces - Codeforces Global Round 16
// URL: https://codeforces.com/contest/1566/problem/E
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 2E5 + 10;
vector<int> g[N];
int type[N]; //0 -- root, 1 -- leaf, 2 -- bud

void dfs(int u, int fa) {
	bool leaf = false;
	for (auto v : g[u]) {
		if (v == fa) continue;
		dfs(v, u);
		if (type[v] == 1) leaf = true;
	}
	
	if (u != fa) {
		if (!leaf) type[u] = 1;
		else type[u] = 2;
	}
}

int main() {
	int _; scanf("%d", &_);
	while (_--) {
		int n;
		scanf("%d", &n);
		for (int i = 1; i <= n; i++) g[i].clear();
		memset(type, -1, sizeof type);
		
		for (int i = 1; i <= n - 1; i++) {
			int u, v;
			scanf("%d%d", &u, &v);
			g[u].push_back(v);
			g[v].push_back(u);
		}
		
		type[1] = 0;
		dfs(1, 1);
		
		bool rHas_leaf = false;
		for (auto it: g[1]) {
			if (type[it] == 1) {
				rHas_leaf = true;
				break;	
			}
		}
		
		//将所有buds直接接到根上，这样在把buds拿走接到一个leaf上只会减少一个leaf数,而不会增加leaf
		//设buds有k个，那么现在叶子节点数n - k - 1
		/*
		如果根有叶子结点，我们选择将k个buds顺次接到这个叶子结点上，接一次减少1，所以答案n - k - 1 - k
		如果根没有叶子结点，那么将其他buds接到其中一个bud上去，那么答案n - k - 1 - （k - 1）
		*/		
		int k = 0;
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			if (type[i] == 2) k += 1;
		}
		
		if (rHas_leaf) printf("%d\n", n - 2 * k  - 1);
		else printf("%d\n", n - 2 * k);
	}
	
    return 0;
}