题解 P7800 [COCI2015-2016#6] PAROVI

时间:2021-08-11
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算法分析:线性 dp

拿到题目首先观察数据范围,发现 \(1\le n\le20\),因此我们可以先将所有的满足条件的互质的数预处理出来(以下称这些满足条件的组为“互质对”)。需要注意的一点是,\(\{1,1\}\) 这组不满足条件。当 \(n=20\) 时,共有 \(127\) 组。

接着我们考虑 \(\text{Mirko}\) 在什么条件下能获得胜利。

  • 如果 \(\text{Mirko}\) 没有选包含 \(1\) 的互质对,那么,不论他如何选,所有被选的互质对必定满足 \(a,b \ge 2\)。也就是说,\(\text{Slavko}\) 只需令 \(x=2\)。在这种情况下,\(\text{Mirko}\) 无法获胜。

  • 如果 \(\text{Mirko}\) 没有选包含 \(n\) 的互质对,与上一中情况类似,所有被选的互质对必定满足 \(a,b<n\)。也就是说,\(\text{Slavko}\) 只需令 \(x=n\)。在这种情况下,\(\text{Mirko}\) 同样无法获胜。

  • 如果 \(\text{Mirko}\) 选的互质对中包含以下情况:

    记他选的某两对互质对 \(\{a,b\},\{c,d\}\) 且满足 \(a<b<c<d\)

    那么 \(\text{Slavko}\) 只需令 \(x=c\),那么 \(\text{Mirko}\) 依然无法获胜。

综合以上三种情况,我们发现,若要使 \(\text{Mirko}\) 获胜,不能存在上述三种情况的任意一种。

我们把一组互质对看做一条 \(a\to b\) 的线段,那么这个问题就转化为区间覆盖问题。即:

在给定线段中选出若干条,求完全覆盖 \(1\to n\) 这个区间的方案数。

针对此问题,我们先将所有线段按右端点排序。可设 \(dp_{i,j}\) 为选到第 \(i\) 条线段,覆盖了 \(1\to j\) 这个区间的方案数。初始化 \(dp_{0,1}=1\),答案为 \(dp_{cnt,m}\)\(cnt\) 为互质对的总数。于是有:

\[\begin{cases}dp_{i,j}=dp_{i,j}+dp_{i-1,j}\\dp_{i,R_{i}}=dp_{i,R_{i}}+dp_{i,j}&L_{i}<=j\\dp_{i,j}=dp_{i,j}+dp_{i-1,j}&L_{i}>j\end{cases} \]

其中 \(L_i\)\(R_i\) 分别表示第 \(i\) 条线段的左、右端点。

code:

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define reg register
#define F(i,a,b) for(reg int i=(a);i<=(b);++i)
using namespace std;
bool beginning;
inline int read();
const int N=150,mod=1e9;
int n,cnt;
struct P {
	int x,y;
	bool operator <(const P& a)const {
		return y<a.y;
	}
} a[N];
namespace Dp {
	ll dp[N][25];
	void main() {
		dp[0][1]=1;
		F(i,1,cnt) {
			F(j,1,n) {
				dp[i][j]=(dp[i][j]+dp[i-1][j])%mod;
				if(a[i].x<=j)dp[i][a[i].y]=(dp[i][a[i].y]+dp[i-1][j])%mod;
				else dp[i][j]=(dp[i][j]+dp[i-1][j])%mod;
			}
		}
		printf("%lld\n",dp[cnt][n]);
	}
}
bool ending;
int main() {
//  system("color fc");
//  printf("%.2lfMB\n",1.0*(&beginning-&ending)/1024/1024);
	n=read();
	F(i,1,n) {
		F(j,i+1,n) {
			int gcd=__gcd(i,j);
			if(gcd==1)a[++cnt]= {i,j};
		}
	}
	sort(a+1,a+cnt+1);
	Dp::main();
	return 0;
}
inline int read() {
	reg int x=0;
	reg char c=getchar();
	while(!isdigit(c))c=getchar();
	while(isdigit(c))x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
	return x;
}

AC 记录

不过还有一种比较朴素的搜索算法(模拟赛时想出来的乱搞算法)。为了避免重复,我们限定使用的的线段数量,类似于 ID,记忆化搜索,记 \(dp_{fro,r,res}\) 表示上一条线段是 \(fro\),当前已经覆盖 \(1\to r\),还要选 \(res\) 条线段的情况数。这里也给出代码。

code2:

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define reg register
#define F(i,a,b) for(reg int i=(a);i<=(b);++i)
using namespace std;
bool beginning;
inline int read();
const int N=150,mod=1e9;
int n,cnt;
struct P {
    int x,y;
} a[N];
ll dp[N][25][N];
ll dfs(int fro,int r,int res) {
    if(!res)return r>=n;
    if(fro>=cnt)return 0;
    if(~dp[fro][r][res])return dp[fro][r][res];
    ll ans=0;
    F(i,fro+1,cnt) {
        if(a[i].x<=r) {
            ans+=dfs(i,max(a[i].y,r),res-1);
            ans%=mod;
        }
    }
    return dp[fro][r][res]=ans;
}
bool ending;
int main() {
//  system("color fc");
//  printf("%.2lfMB\n",1.0*(&beginning-&ending)/1024/1024);
    n=read();
    F(i,1,n) {
        F(j,i+1,n) {
            int gcd=__gcd(i,j);
            if(gcd==1)a[++cnt]= {i,j};
        }
    }
    ll ans=0;
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    F(i,1,cnt) {
        ans+=dfs(0,1,i);
        ans%=mod;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}
inline int read() {
    reg int x=0;
    reg char c=getchar();
    while(!isdigit(c))c=getchar();
    while(isdigit(c))x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
    return x;
}

AC

跑得慢死了。

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