洛谷 P7520 - [省选联考 2021 A 卷] 支配（支配树）

真·支配树不 sb 的题。

首先题面已经疯狂暗示咱们建出支配树对吧，那咱就老老实实建呗。由于这题数据范围允许 \(n^2\) 算法通过，因此可以考虑 \(\mathcal O(n^2)\) 地建立支配树，具体来说我们枚举每个点 \(x\)，将这个点暂时地从图中删除，如果对于图中另一个点 \(y\) 满足删除 \(x\) 后 \(1\) 不能到达 \(y\)，那么 \(x\) 就在 \(y\) 的支配集中，这样我们再对整个 DAG DFS 一遍求出每个点的 DFS 序，然后取 DFS 序最大的点作为每个点在支配树上的父亲即可。

接下来考虑怎样计算答案。首先显然的一件事情是，我们加入一条边后最多只会让某些点的支配集大小变小，而不会使支配集大小变大，因此我们只需考虑有哪些点在加入这条边后，存在某个点原来能支配它而现在不能即可。注意到一个性质，就是对于一个点 \(x\)，如果 \(fa_x\)（当然有些人喜欢称这个东西为 \(idom_x\)，反正能看懂就行了吧）的支配集改变，那么 \(x\) 的支配集也会改变。因为根据支配树的性质，每个点的支配集一定是该点到 \(1\) 路径上所有点组成的集合，因此如果 \(fa_x\) 的支配集改变，就必然存在某个 \(fa_x\) 的祖先 \(y\)，满足存在路径 \(1\to fa_x\) 且不经过 \(y\)，这样就存在路径 \(1\to fa_x\to x\) 不经过 \(x\)，\(y\) 就从 \(x\) 的支配集中消失了。同理，如果 \(fa_x\) 的支配集没变，但 \(x\) 的支配集改变，必然是因为 \(fa_x\) 无法支配 \(x\)，因为如果存在某个 \(x\) 的祖先 \(y\ne fa_x\)，满足 \(y\) 不再支配 \(x\) 且 \(y\) 能支配 \(fa_x\)，那就能推出这个 \(1\to x\) 且不经过 \(y\) 的路径肯定不经过 \(fa_x\)，从而 \(fa_x\) 不支配 \(x\)。

因此我们考虑每次询问对整棵树进行 DFS，如果走到一个点发现 \(fa_x\) 不支配 \(x\)，答案就加上 \(x\) 子树的大小并 return，那么怎么判断 \(fa_x\) 是否支配 \(x\) 呢？显然如果 \(fa_x\) 不支配 \(x\) 那么必然存在路径 \(1\to u\to v\to x\) 满足这条路径不经过 \(fa_x\)，而这又 obviously 等价于 \(1\to u,v\to x\) 均不经过 \(fa_x\)，前者可以通过建支配树时预处理出的“删掉点 \(x\) 后是否存在 \(1\to y\) 的路径的数组 \(ban_{x,y}\)”求出，而关于后者我们发现都是形如”删掉 \(fa_x\) 后 \(x\) 能否在反图上到达 \(y\)“，因此我们再建一个 \(ban\_fa_{x,y}\) 维护这个东西即可。时间复杂度 \(\mathcal O(n^2+nq)\)

卡常技巧：交换 \(ban\) 和 \(ban\_fa\) 的两维后，效率大约能快 25%，具体原理见这儿。

const int MAXN=3e3;
const int MAXM=MAXN<<1;
int n,m,qu;
struct graph{
	int hd[MAXN+5],nxt[MAXM+5],to[MAXM+5],ec=0;
	void adde(int u,int v){to[++ec]=v;nxt[ec]=hd[u];hd[u]=ec;}
} g,rv_g,dt;
int dfn[MAXN+5],rid[MAXN+5],tim=0,fa[MAXN+5];
bool ban[MAXN+5][MAXN+5],ban_fa[MAXN+5][MAXN+5];
void dfs(int x){
	rid[dfn[x]=++tim]=x;
	for(int e=g.hd[x];e;e=g.nxt[e]){
		int y=g.to[e];if(!dfn[y]) dfs(y);
	}
}
void dfs_ban(int x,int ban_id){
	if(x==ban_id) return;ban[x][ban_id]=1;
//	printf("{%d,%d}\n",ban_id,x);
	for(int e=g.hd[x];e;e=g.nxt[e]){
		int y=g.to[e];
		if(!ban[y][ban_id]) dfs_ban(y,ban_id);
	}
}
void dfs_ban_fa(int x,int ban_id){
	if(x==fa[ban_id]) return;ban_fa[x][ban_id]=1;
	for(int e=rv_g.hd[x];e;e=rv_g.nxt[e]){
		int y=rv_g.to[e];
		if(!ban_fa[y][ban_id]) dfs_ban_fa(y,ban_id);
	}
}
int siz[MAXN+5];
void dfssiz(int x){
	siz[x]=1;
	for(int e=dt.hd[x];e;e=dt.nxt[e]){
		int y=dt.to[e];dfssiz(y);
		siz[x]+=siz[y];
	}
}
int X,Y,res=0;
void dfscalc(int x){
	if(x^1){
		if(ban[X][fa[x]]&&ban_fa[Y][x]){
			res+=siz[x];return;
		}
	} for(int e=dt.hd[x];e;e=dt.nxt[e]){
		int y=dt.to[e];dfscalc(y);
	}
}
int main(){
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&qu);
	for(int i=1,u,v;i<=m;i++){
		scanf("%d%d",&u,&v);
		g.adde(u,v);rv_g.adde(v,u);
	} dfs(1);for(int i=1;i<=n;i++) dfs_ban(1,i);
//	for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d %d\n",dfn[i],rid[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++)
		if(!ban[j][i]&&(i^j)) chkmax(fa[j],dfn[i]);
	for(int i=2;i<=n;i++) fa[i]=rid[fa[i]];fa[1]=0;
	for(int i=2;i<=n;i++) dt.adde(fa[i],i),dfs_ban_fa(i,i);
//	for(int i=2;i<=n;i++) printf("%d\n",fa[i]);
	dfssiz(1);
	while(qu--){scanf("%d%d",&X,&Y);res=0;dfscalc(1);printf("%d\n",res);}
	return 0;
}

原文地址：https://www.cnblogs.com/ET2006/p/luogu-P7520.html