AcWing 3774. 亮灯时长

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题解

题目描述

自习室内有一个智能灯。
在 0 时刻，管理员会将打开电闸，并将灯点亮。
在 M 时刻，管理员会直接拉下电闸，此时，如果灯处于点亮状态，则会因为断电而熄灭。

在 0∼M 之间有 n 个不同时刻，不妨用 a1,a2,…,an 表示，其中 0<a1<a2<…<an<M。
在这** n 个时刻中的每个时刻，管理员都会拨动一次智能灯的开关，使灯的状态切换**（亮变灭、灭变亮）。

现在，你可以最多额外指定一个时刻（也可以不指定），让管理员在此时刻也拨动开关一次。注意选定的时刻不能与 a1,a2,…,an相等。

你的目的是让亮灯的总时长尽可能长。

输出这个最大亮灯总时长。

输入格式
第一行包含整数 T，表示共有 T组测试数据。
每组数据，第一行包含两个整数 n和 M。第二行包含 n个整数 a1,a2,…,an。
输出格式
输出一个整数，表示最大亮灯总时长。
数据范围
1≤T≤30,
1≤n≤10^5,
2≤M≤10^9,
0<a1<a2<…<an<M。
同一测试点内所有 n 的和不超过 10^5。

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分析

后/前缀和 贪心 O(n)

题目要求：可以选择加入一个不同时刻，使灯的状态多切换一次，让亮灯的时间最长。
注意到加入一个时刻后，此时刻后面区间的亮/灭状态全都变反。

用a0, a1, ... , an, an+1表示各时刻，其中a0=0, an+1=M
注意到对于[ai, aj]区间：
i为偶数，j为奇数时，灯亮
i为奇数，j为偶数时，灯灭

可以用一个后缀和s[i]表示从ai时刻开始到M时刻的亮/灭总时长，若i为偶数，表示亮灯总时长，奇数表示灭灯总时长。
则s[0]表示原始的亮灯总时长。

显然，如果加入一个时刻，要么在一个亮灯的区间加入，要么在一个灭灯的区间加入。
一旦选择一个区间[ai, aj]加入一个时刻x，这个区间后面（取反）和前面（不变）亮灯的时长是确定的，只需要考虑x如何插入的问题：
[ai, aj]是亮灯的区间，则[ai, x]灯亮，[x, aj]灯灭，显然要aj-x最小，为1，x-ai最大，为aj-ai-1
[ai, aj]是灭灯的区间，则[ai, x]灯灭，[x, aj]灯亮，显然要x-ai最小，为1，aj-x最大，为aj-ai-1

初始化为s[0]，枚举每一个区间插入，计算最大值即可。时间复杂度O(n)

C++ 代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e5+5;
int t, n, m, a[N];
ll s[N], on;

void init() {
    a[n+1] = m;
    s[n+2]=s[n+1]=0;
}

int main() {
    scanf("%d", &t);
    a[0] = 0;
    while(t --) {
        scanf("%d%d", &n, &m);
        for(int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d", &a[i]);
        init();
        for(int i = n; i >= 0; i --)
            s[i] = s[i+2] + a[i+1]-a[i];
            
        on = s[0];
        
        for(int i = 0; i <= n; i ++) {
            if(i&1) on = max(on, a[i+1]-a[i]-1 + s[0]-s[i+1] + s[i+2]);
            else on = max(on, -1 + s[0]-s[i+2] + s[i+1]);
        }
        printf("%lld\n", on);
        
    }
    return 0;
}