思维|奇偶周期对称的高阶认知

前言

当三个性质出现在题目中时，如何准确区分这些容易混淆的性质，是我们应该具备的高阶素养。

常用性质

• 周期性

典型的范式如\(f(x+2)=f(x)\)，则\(T=2\)；

其等价变形如\(f(x+1)=f(x-1)\)，则\(T=2\)；

其他表现形式如\(f(x+2)=-f(x)\)，则\(T=2\times2=4\)等，

• 奇偶性

典型的范式如\(f(-x)=-f(x)\)，等价变形如\(f(-x)+f(x)=0\)；

则函数为奇函数，关于点\((0，0)\)对称；

典型的范式由\(f(-x)=f(x)\)，等价变形如\(f(-x)-f(x)=0\)；

则函数为偶函数，关于直线\(x=0\)对称；

• 对称性

典型的范式如由\(f(2-x)+f(x)=2\)，注意等价变形\(f(2-x)=2-f(x)\)；

则可知函数关于点\((1，1)\)对称；

对称中心\((x_0，y_0)\)的求法如下：

\(x_0=\cfrac{(2-x)+x}{2}=1\)，\(y_0=\cfrac{y_1+y_2}{2}=\cfrac{f(2-x)+f(x)}{2}=1\)；

典型的范式如由\(f(4-x)=f(x)\)，注意等价变形\(f(4-x)-f(x)=0\)；

则可知函数关于直线\(x=2\)对称，

其中对称轴\(x=x_0\)的求法如下：\(x_0=\cfrac{(4-x)+x}{2}=2\)；

廓清认知

当三个性质出现在题目中时，如何准确区分这些容易混淆的性质，是我们应该具备的高阶素养。

【周期性】两个自变量的整体相加不能消掉\(x\)的就表现为周期性由于周期性体现的是函数图像的左右平移，其实质是用\(x+\phi\)替换\(x\)，故自变量前面的符号是相同的；而对称性体现的是图像的对称，其横坐标必然会针对对称轴向左右平移相同的\(|x|\)个单位，故其自变量前面的符号是相反的；；

如由\(f(x+2)=f(x)\)，则\(T=2\)，如由\(f(x+2)=-f(x)\)，则\(T=4\)，

【对称性】两个自变量的整体相加能消掉\(x\)的就表现为对称性；

如由\(f(-x)+f(x)=0\)，对称中心为\((0，0)\)，即奇函数；特殊的对称性。

如由\(f(4-x)+f(x)=2\)，对称中心为\((2，1)\)，即一般的对称性，中心对称；

如由\(f(-x)-f(x)=0\)，对称轴为\(x=0\)，即偶函数，特殊的对称性；

如由\(f(2-x)-f(x)=0\)，对称轴为\(x=1\)，即一般的对称性，轴对称；

思维盲点

函数的奇偶性、对称性、周期性三个性质，只要知道其中两个，就能推导出第三个，而第三个常常在解题中是必不可少的，故需要我们打通思维中的盲点，熟练掌握以下的变形和数学思想方法：

• 对称性+奇偶性\(\Longrightarrow\)周期性的变形例子

如，已知函数\(f(x)\)是奇函数，且满足\(f(2-x)=f(x)\)，

则由\(\begin{align*} f(2-x)&=f(x) \\\ - f(-x)&= f(x)\end{align*}\) \(\Bigg\}\Longrightarrow f(2-x)=- f(-x)\Longrightarrow f(2+x)=- f(x)\Longrightarrow\)周期\(T=4\)

• 奇偶性+周期性\(\Longrightarrow\)对称性的变形例子

如，已知函数\(f(x)\)是奇函数，且满足\(f(x+4)=-f(x)\)，

则由\(\begin{align*} f(x+4)&=-f(x) \\ f(-x)&=-f(x)\end{align*}\) \(\Bigg\}\Longrightarrow f(x+4)=f(-x)\Longrightarrow\)对称轴是\(x=2\)

• 对称性+周期性\(\Longrightarrow\)奇偶性的变形例子

如，已知函数\(f(x)\)的周期是2，且满足\(f(2+x)=f(-x)\)，

则由\(\begin{align*} f(2+x) &=f(-x) \\ f(2+x) &= f(x)\end{align*}\) \(\Bigg\}\Longrightarrow f(-x)= f(x)\Longrightarrow\)函数\(f(x)\)是偶函数。

难点突破

• 函数性质综合应用中的难点，注意对比两个例子中的单调性和图像，比如

（1）.已知定义在\(R\)上的奇函数\(f(x)\)，在\((0，+\infty)\)上单调递增，则函数图像可能是①，而不可能是②；

（2）.已知定义在\(R\)上的奇函数\(f(x)\)，在\([0，+\infty)\)上单调递增，则函数图像可能是②，而不可能是①；

• 注意，还需要加强的是数学应用意识；即由文字语言到数学符号语言；

比如知道对称轴\(x=1\)，我们应该能顺利写出\(f(x+2)=f(-x)\)，或\(f(-x+2)=f(x)\)，或\(f\)\((\)\(1\)\(+\)\(x\)\()\)\(=\)\(f\)\((\)\(1\)\(-\)\(x\)\()\)，其实这几种表达形式的实质都是相同的，具体选用哪一个看我们的题目需要；再比如，知道函数的对称中心\((1，1)\)，你就应该能写出\(f(2-x)+f(x)=2\)，或\(f(1-x)+f(1+x)=2\)等等；

典例列举

【2017年宝鸡市二检】【函数性质逐条给出】已知定义在\(R\)上的函数\(y=f(x)\)满足以下条件：

①对任意的\(x\in R\)，都有\(f(x+2)=f(x-2)\)；

②函数\(y=f(x+2)\)是偶函数；

③当\(x\in(0，2]\)时，\(f(x)=e^x-\cfrac{1}{x}\)，

若已知\(a=f(-5)\)，\(b=f(\cfrac{19}{2})\)，\(c=f(\cfrac{41}{4})\)，则\(a\)，\(b\)，\(c\)的大小关系是【\(\qquad\) 】

$A.b < a < c$ $B.c < a < b$ $C.c < b < a$ $D.a < b < c$

分析：本题目是函数各种性质综合应用的典型题目，如果你对函数的各种性质的给出方式很熟悉，

那么由①可知，函数满足\(f(x+4)=f(x)\)，其周期是\(4\)；

由②可知\(y=f(x)\)的对称轴是\(x=2\)，可以表达为\(f(x+4)=f(-x)\)，

那么在结合\(f(x+4)=f(x)\)，可知\(f(-x)=f(x)\)，则函数\(f(x)\)还是偶函数；

由③借助导数工具(或者增+增=增)可得，函数\(f(x)\)在区间\((0，2]\)上单调递增，

有了以上分析得到的函数的周期性、奇偶性、单调性，就可以轻松的解决题目中的大小比较了。

\(a=f(-5)\xlongequal{周期性}f(-1)\xlongequal{奇偶性}f(1)\)；

\(b=f(\cfrac{19}{2})\xlongequal{周期性}f(\cfrac{3}{2})=f(1.5)\)；

\(c=f(\cfrac{41}{4})\xlongequal{周期性}f(2+\cfrac{1}{4})\xlongequal{已知表达式}f(\cfrac{1}{4}-2)\xlongequal{偶函数}f(2-\cfrac{1}{4})=f(1.75)\)；

由\(f(x)\)在区间\((0，2]\)上\(\nearrow\)，\(1<1.5<1.75\)，

则有\(f(1)<f(1.5)<f(1.75)\)，即\(a<b<c\)，故选\(D\)。