[ABC061D]Score Attack/「模板」Bellman-ford 算法

做了这题我发现

1. 我不懂单源最短路。
2. BF 还是有用的。

给出有向图，求单源最长路，或指出有环。

开始时觉得这不是直接写个 spfa 记录一下每个点更新次数解决？然后就 WA 了。
其实这是一个严重的历史遗留问题，即学习最短路算法时不经 BF 直接学习并记下 SPFA。
首先，WA 是很显然的，比如下面这幅图。

出现环了不代表在到 \(n\) 的路上一定有。那难道要找出每个环上的点并一一判断是否在到 \(n\) 的路径上吗？其实并不是，只需要对代码进行小小的改动就可以了。

先回到 BF，BF 的流程是这样的：

1. 迭代 \(n-1\) 次。
2. 每一次尝试松弛每条边。
   
   

\[\boxed{ \begin{aligned} \text{Be}&\text{llman-Ford 伪代码}\\ \hline 1.\ &\text{for } i = 1 \to n-1 \\ 2.\ & \kern{2em}\text{for } j = 1 \to m \\ 3.\ & \kern{4em} d_{v_j} = \min\{d_{v_j}, d_{u_j} + l_j\}\\ \end{aligned} } \]

其实感性理解一下十分的简单，就是一个 dp 的思想，因为每个路径不可能有超过 \(n-1\) 条边，而每次进行一次迭代时会让最短路延长上 \(1\)，所以迭代 \(n-1\) 次就可以出结果了。

那么如何判环呢？很简单，如果再来一次某个点的最短路又双叒叕被更新了，那么在前往其的路径上肯定有一个环。注意，是前往其的路径上有一个环。

未完待续。