题解 P3224 [HNOI2012]永无乡

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前置知识：kruskal 重构树，主席树

来讲一种目前题解区里没有，使用 kruskal 重构树和主席树，且时间复杂度为一个 log 的做法。

题目大意是给定一张点数为 \(n\)​​ ，初始边数为 \(m\)​ 的无向图，图中每个点有一个权值，然后有 \(q\)​ 个操作，每个操作可能是询问与点 \(x\) 联通的点中权值第 \(k\) 小的点的编号，也可能是加入一条无向边。

看到这种与联通性相关的题，自然能想到 kruskal 重构树，于是把操作离线，连边操作直接丢给 kruskal 重构树，把其对应点的限制设为时间戳，然后将询问操作也带上时间戳存下来。

这样我们就解决了动态加边的问题，再给 kruskal 重构树加个倍增，我们就可以快速得到一个询问所对应的点集了。

询问的是第 \(k\) 小，于是在 kruskal 重构树上再跑个 dfs 序，弄颗主席树，此题就做完啦 ^_^

时间复杂度：\(O(qlog(n))\)

此外，实现时有个坑点，这张图不一定联通，所以 dfs 时一定要把每个根都跑了。

参考代码：

#include <bits/stdc++.h>

#define rei register int
#define ll long long

using namespace std;

const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int N = 1e5 + 5, M = 1e5 + 5, MAXQ = 3e5 + 5;

int n, m, Q, tot, totq, num;

int val[N * 2], fa[N * 2], f[N * 2][19], lim[N * 2];

int lson[N * 2], rson[N * 2], siz[N * 2];

int id[N * 2], key[N];

struct Segment_Tree {
    int tot, ver[N * 2];
    struct node {
	int cnt, ls, rs;
    } T[N * 39];
    int build(int l, int r) {
	int nnow = ++tot;
	if(l == r) return nnow;
	int mid = (l + r) >> 1;
        T[nnow].ls = build(l, mid);
        T[nnow].rs = build(mid + 1, r);
        return nnow;
    }
    int add(int x, int k, int l, int r, int now) {
        int nnow = ++tot;
        T[nnow] = T[now];
        if(l == r) {
            T[nnow].cnt += k;
            return nnow;
        }
        int mid = (l + r) >> 1;
        int &L = T[nnow].ls, &R = T[nnow].rs;
        if(x <= mid) L = add(x, k, l, mid, T[now].ls);
        else R = add(x, k, mid + 1, r, T[now].rs);
        T[nnow].cnt = T[L].cnt + T[R].cnt;
        return nnow;
    }
    int ask(int k, int l, int r, int now1, int now2) {
        if(l == r) {
            return key[l];
        }
        int L1 = T[now1].ls, R1 = T[now1].rs;
        int L2 = T[now2].ls, R2 = T[now2].rs;
        int mid = (l + r) >> 1;
        if(k <= T[L2].cnt - T[L1].cnt) {
            return ask(k, l, mid, L1, L2);
        } else {
            return ask(k - T[L2].cnt + T[L1].cnt, mid + 1, r, R1, R2);
        }
    }
} SMT;

int find(int x) {
    if(fa[x] == x) return x;
    return fa[x] = find(fa[x]);
}

void link(int u, int v, int l) {
    if(tot == 2 * n - 1) return;
    u = find(u), v = find(v);
    if(u == v) return;
    fa[u] = fa[v] = f[u][0] = f[v][0] = ++tot;
    fa[tot] = f[tot][0] = tot;
    lim[tot] = l, val[tot] = inf;
    lson[tot] = u, rson[tot] = v;
}

struct query {
    int x, k, high;
    query(int x = 0, int k = 0, int high = 0) {
	this->x = x, this->k = k, this->high = high;
    }
} q[MAXQ];

void dfs(int x) {
    id[x] = ++num, siz[x] = 1;
    if(val[x] == inf) SMT.ver[num] = SMT.ver[num - 1];
    else key[val[x]] = x, SMT.ver[num] = SMT.add(val[x], 1, 1, n, SMT.ver[num - 1]);
    if(lson[x]) dfs(lson[x]), siz[x] += siz[lson[x]];
    if(rson[x]) dfs(rson[x]), siz[x] += siz[rson[x]];
}

int solve(query pb) {
    int x = pb.x, k = pb.k, high = pb.high;
    for(rei i = 17; i >= 0; --i) {
	if(lim[f[x][i]] < high) {
	    x = f[x][i];
	}
    }
    int l = SMT.ver[id[x] - 1], r = SMT.ver[id[x] + siz[x] - 1];
    if(k > SMT.T[r].cnt - SMT.T[l].cnt) return -1;
    return SMT.ask(k, 1, n, l, r);
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(NULL);
    cin >> n >> m;
    tot = n;
    for(rei i = 1; i <= n; ++i) {
	cin >> val[i];
	fa[i] = f[i][0] = i;
    }
    for(rei i = 1; i <= m; ++i) {
	int u, v;
	cin >> u >> v;
	link(u, v, 0);
    }
    cin >> Q;
    for(rei i = 1; i <= Q; ++i) {
	char op; int x, y;
	cin >> op >> x >> y;
	if(op == 'B') {
	    link(x, y, i);
	} else {
	    q[++totq] = query(x, y, i);
	}
    }
    for(rei j = 1; j <= 17; ++j) {
	for(rei i = 1; i <= tot; ++i) {
	    f[i][j] = f[f[i][j - 1]][j - 1];
	}
    }
    SMT.ver[0] = SMT.build(1, n);
    for(rei i = 1; i <= tot; ++i) {
	if(fa[i] == i) dfs(i);
    }
    for(rei i = 1; i <= totq; ++i) {
	cout << solve(q[i]) << "\n";
    }
    return 0;
}

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