数学建模之欧拉算法（求解常微分方程）

目录

• 数学建模算法补充
  • 常微分方程
    • 欧拉算法
      • 定义
      • 公式推导
      • 算法缺点

数学建模算法补充

常微分方程

欧拉算法

定义

定义：在数学和计算机科学中，欧拉方法，命名自它的发明者莱昂哈德·欧拉，是一种一阶数值方法，用以对给定初值的常微分方程（即初值问题）求解。它是一种解决数值常微分方程的最基本的一类显型方法（Explicit method）。

欧拉法是常微分方程的数值解法的一种，其基本思想是迭代。其中分为前进的EULER法、后退的EULER法、改进的EULER法。所谓迭代，就是逐次替代，最后求出所要求的解，并达到一定的精度。误差可以很容易地计算出来。

非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使是\(\frac{\mathrm{ d}y}{\mathrm{d}x}=y^2+x^2\)。对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法是一个重要的手段。

公式推导

设微分方程为

\[\begin{cases} \frac{\mathrm{ d}y}{\mathrm{d}x}=f(x_n,y(x_n)),&a\leq x \leq b\\ y(a)=y_0 \end{cases} \]

• 差商近似导数

  若用向前差商\(\frac{y(x_{n+1})-y(x_n)}{h}\)代替\(y'(x_n)\)带入微分方程\(\frac{\mathrm{ d}y}{\mathrm{d}x}=f(x_n,y(x_n))\)中，可得

  \[\frac{y(x_{n+1})-y(x_n)}{h} \approx f(x_n,y(x_n))\\ y(x_{n+1})=y(x_n)+hf(x_n,y(x_n)) \]

如果用\(y(x_n)\)的近似值\(y_n\)代入上式右端，所得结果作为\(y(x_{n+1})\)得近似值，记为\(y_{n+1}\)，则有

\[y_{n+1}=y_n+hf(x_n,y_n),n=0,1,\cdots,N-1 \]

这样，微分方程的近似解可以通过求解下述式子来获得

\[\begin{cases} y_{n+1}=y_n+hf(x_n,y_n),& n=0,1,\cdots,N-1\\ y_0=y(a) \end{cases} \]

算法缺点

欧拉算法简单地取切线地端点作为起点来计算，当步数增多时，误差会因积累而越来越大。因此，欧拉算法一般不用于实际计算。