P2789 直线交点数

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我们将\(n\)条直线编号,分别称为直线\(1\)、直线\(2\)、…、直线\(n\)。直线\(2\) 与直线\(1\) 最多有一个交点，直线\(3\)与直线\(1\)和直线\(2\)最多有\(2\)个交点，……，直线\(n\)与其它 \((n-1)\) 条直线最多 \((n-1)\) 个交点。

由此看出,\(n\)条无三线共点的直线最多的交点数 \(max=1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2\)。

但本题我们要求解的是：这 \(n\) 条直线共有多少种不同的交点数？ 仍然从举例出发。下面列举了 \(n=1、2、3、4\) 四种情况各自的交点情况：

具体分析一下 \(n=4\) 的情况：

• \(4\) 条直线全部平行，则 \(0\) 交点 \({ =4*(4-4)}\)。

• 其中 \(3\) 条直线平行，则 \(3\) 交点 \({ =3*(4-3) }\)。

• 其中 \(2\) 条直线平行，则这\(2\)条直线与另\(2\)条直线的交点数为\(4\),而另\(2\)条直线之间可能有\(0\)个或\(1\)个交点（见 \(n=2\) 的情况,共 \(4\) 个交点或 \(5\) 个交点。\({=2*(4-2)+0 或 1 }\)

• \(4\) 条直线均不平行（可看成 \(1\) 条直线平行），这 \(1\) 条直线与其它 \(3\) 条直线的交点数为 \(3\)，而其 它 \(3\) 条直线之间的交点数为 \(3\)，共 \(6\) 个交点。\({ =1*(4-1)+3 }\)

经过以上分析，我们可以得如下结论：

m 条直线的交点方案=r 条平行线与（m-r）条直线交叉的交点数+（m-r）条直线本身的交点方案

=r*(m-r)+(m-r)条直线本身的交点方案 （1<=r<=m）

在具体编程时，我们设置一个标志数组 f[0..max]，在使用上述结论递归求解的过程中，每得到一种交点数 k，则置 f[k]为 true（初始 f[0]~f[max]均为 false）。