排队论

基本概念

符号

• 目前广泛采用的服务系统符号表示为 X/Y/Z/A/B/C，
• 其中 X 为顾客相继到达时间间隔的分布；
• Y 为服务时间的分布；
• Z 为并列服务台的个数；
• A 为排队系统的容量；B 为顾客源数； C 服务规则
• 服务规则常用以下符号：
• FCFS——表示先到先服务的排队规则；
• LCFS——表示后到先服务的排队规则；
• PR——表示优先权服务的排队规则.
• 表示相继到达间隔时间和服务时间分布的各种符号为：
• M——负指数分布 (Markov，负指数分布具有无记忆性)
• D——定长分布 (Deterministic)
• E_k——k 阶爱尔朗分布
• GI——一般相互独立的时间间隔分布
• G——一般服务时间随机分布
• 例如，M/M/1 表示相继到达间隔服从负指数分布、服务时间服从负指数分布、单服务台的模型。
• 一般约定，如略去后三项即指 X/Y/Z/∞/∞/FCFS 的情形，服务规则为先到先服务，顾客源为∞，系统容量为∞。

模型

单服务台排队模型

设系统的输入过程服从泊松流，服务时间服从负指数分布，则单服务台的排队系统有以下三种情况：

1. 标准型：M/M/1/∞/∞
   排队模型 M/M/1/∞/∞表示顾客源无限，顾客的到达相互独立，到达规律服从参数为 λ 的泊松分布；各顾客的服务时间相互独立。且服从参数为 µ 的负指数分布；单服务台，队长无限，先到先服务
2. 系统容量有限型：M/M/1/N/∞
3. 顾客源有限型：M/M/1/∞/m

例题：单服务台排队模型

例2.1 某公路收费入口处设有一个收费亭，汽车进入路口必须向收费处交费. 收费亭的收费时间服从负指数分布，平均每辆汽车的收费时间为 7.2s，汽车的到达率为 400 辆/h，服从泊松分布. 试求：
(1)收费亭空闲的概率；
(2)收费亭前没有车辆排队的概率；
(3)收费亭前排队长度超过 100m(即车辆超过 12 辆)的概率；
(4)平均排队长度；
(5)车辆通过收费亭所花时间的平均值；
(6)车辆的平均排队时间。

解：这显然是一个 M/M/1/∞/∞问题，收费亭是服务台，汽车是顾客，汽车向收费亭交费便是接受服务.
λ=400辆/ℎ,  u=1/7.2  辆/s=500辆/ℎ； 
服务强度 ρ=λ/u=400/500=0.8<1，故排队系统是稳定的.
(1)收费亭空闲的概率：
即系统中没有车辆到达的概率 P_0 ，即 P_0=1−ρ=0.2
(2)收费亭前没有车辆排队的概率： 当系统中没有车辆或者只有一辆车辆的时候 (这辆车正在被服务)，便没有车辆排队，即：P(j≤1)=P_0+P_1=0.2+0.2×0.8=0.36

系统容量有限型模型 M/M/1/N/∞

系统容量为N就是系统内只能容纳N个顾客，多了将被拒绝进入系统. 在单服务台系统中排队等待的顾客最多是(N-1)个.

例题

例2.2 某市区有一个汽车加油站，站上服务台平均36s处理一辆汽车，加油时间服从负指数分布，汽车到加油站加油的到达率为80辆/h，并服从泊松分布. 当等待加油的汽车超过10辆(即排队长度超过80m)时，将影响附近街道的正常交通，因而规定排队车辆不得超过10辆.
试求：(1)加油站空闲的概率；(2)汽车来加油但因排队已满被拒绝的概率；(3)在系统中的平均顾客数；(4)平均排队长度；(5)汽车在加油过程中所花的时间；(6)汽车的排队等候时间.

顾客源有限型：M/M/1/∞/m

此模型的顾客总体虽然只有m个，但是每一个顾客到来并接受服务后仍然可以回到顾客总体，所以对系统的容量是没有限制的，实际上系统中的顾客数永远也不会超过m，即与M/M/1/m/m的意义相同.
例如某车间有m台机器，出故障后就到修理处修理，修好后送还车间. 这种情况下，机器可以看成顾客，修理处是一单台服务系统，而车间是它的顾客源. 显然，潜在的顾客只有m个，故为有限源排队系统.

多服务台排队模型

M/M/3/∞/∞系统

例2.3 某售票所有三个窗口，顾客的到达数服从泊松分布，平均到达率为 0.9 人/min，售票时间服从负指数分布，平均服务率为 0.4 人/min，现有顾客到达后排成一个队，以此向空闲的窗口购票，试计算该窗口的状态指标和运行指标.

系统容量有限型：M/M/n/N/∞

例2.4 汽车自动加油站上设有两个加油管，汽车按简单流到达，平均每2min到达一辆，汽车加油时间服从负指数分布，平均每辆车的加油时间为2min. 自动加油站最多只能停3辆汽车等待加油，如果汽车到来时，系统已饱和，则汽车另求服务. 试求该系统的运行指标.

顾客源有限型M/M/n/∞/m

无例题，跟前面的差不多，对照课件改一改

一般服务时间 M/G/1 模型

前面介绍的各种排队系统，其输入过程都是泊松流，服务时间都服从负指数分布，故也统称泊松排队系统. 他们都属于生灭过程排队系统. 当一个排队系统的输入过程非泊松流，或者其服务时间不服从负指数分布，则称为非泊松排队系统. 本节仅以一般时间服务时间排队系统 M/G/1 为典型代表，重点介绍其性能指标的计算.

例题

例2.5 有一个售票口，已知顾客按平均 2 分 30 秒的时间间隔的负指数分布到达，顾客在售票窗口前的服务时间平均为 2 分钟.
(1)若服务时间也服从负指数分布，求顾客为购票所需的平均逗留时间和等待时间.
(2)若经过调查，顾客在售票口前至少要占用 1 分钟，且认为服务时间服从负指数分布是不恰当的，而应该服从以下概率密度分布：

再求顾客的逗留时间和等待时间.

M/D/1定长服务时间系统

例2.6 某实验室有一台自动检验机器性能的仪器，要求检验机器性能的顾客按泊松分布到达，每小时平均4个顾客，检验每台机器所需的时间为6分钟. 求：
(1)在检验室内机器台数；
(2)等候检验的机器台数；
(3)每台机器在室内消耗(逗留)时间；
(4)每台机器平均等待检验的时间.

案例分析

■ 问题背景： 某条道路上要设收费站，单向车流量为 800 辆/h. 假设工作人员平均能在 8s 内处理一辆汽车，符合负指数分布. 试分析收费亭单项至少需设多少通道，并对不同的系统进项评估.