直角三角形专题整理

目录

• 四边形中的直角三角形
  • 直角梯形
    • 一般辅助线：
  • 长方形
    • 一般辅助线：
  • 正方形
    • 一般辅助线：
• 直角三角形
  • 普通直角三角形
    • 一般辅助线：
  • 等腰直角三角形
    • 一般辅助线：
  • 有30°角的直角三角形
    • 一般辅助线：
• 其他

四边形中的直角三角形

直角梯形

一般只有直角梯形才会出现直角三角形的情况 像这道例题：

在特殊情况下（上底+下底=直角腰可以构造全等）可以在梯形内部构造三垂直：

连结直角梯形的对角线可能会形成等边三角形：

一般辅助线：

1. 倍长中线（非直角边的那一个腰上的中线，可以形成直角三角形）

2. 连结对角线

3. 构造三垂直

长方形

和正方形类似，如果从长方形中一点向四条边做垂线，并连结对角线，形成直角三角形之后可以使用勾股定理将每条边算出

一般辅助线：

1. 旋转

2. 从正方形内一点向4条边做垂线，用勾股定理算长度

3. 翻折

4. 连接对角线

正方形

在正方形中，把在正方形内的一条边旋转出去，由于正方形四个角都是 \(90^\circ\) ，可能会形成\(RT \triangle\)

一般辅助线：

1. 旋转

2. 从正方形内一点向4条边做垂线，用勾股定理算长度

3. 对角线（互相平分且垂直）

4.对角线连结形成的4个等腰 \(Rt \triangle\)

直角三角形

普通直角三角形

下面这道例题是一道非常典型的构造直角三角形的题目

射影模型

根据“射影模型”构造 $ RT \triangle$

做其中一条直角边的平行线，做出来的小直角三角形与原来大直角三角形的边对应成比例，角对应相等

斜边中线定理

一般辅助线：

1. 倍长中线

2. 斜边中线

3. 勾股定理

4. \(H L\)

5. 三垂直

6. 双高

7. 射影定理

等腰直角三角形

普通等腰 \(Rt \triangle\) 的方法许多都在这道例题里面了：

有两个等腰 \(Rt \triangle\) 顶点重合时，可能会形成手拉手模型：

一般辅助线：

1. 倍长中线

2. 从顶点做底边的垂线，形成斜边中线

3. 如果中间有一个 \(45^\circ\) 的角可以形成夹半角模型

4. 构造成其他三角形。

5.两个等腰\(Rt \triangle\) 只要有一条边对应相等，就全等。

有30°角的直角三角形

这道题把几乎所有的有 \(30^\circ\) 角的 \(RT \triangle\) 的考点都出了：

一般辅助线：

1. 连接斜边上的中线（30°所对的直角边是斜边的一半），形成等边三角形

2. 倍长中线（形成矩形）

3. 斜边的垂直平分线

其他

如果其他不规则图形中包含直角，可以将这个直角旁边的两个顶点连结，构成直角三角形。