300. 最长递增子序列

1. 题目

　　给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

　　子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

2. 示例

示例1：

输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。

示例2：

输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
输出：4

示例3：

输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出：1

3. 题解

　　2种解题思路：动态规划、二分搜索

3.1 动态规划

　　动态规划的核心思想是数学归纳法

　　设计动态规划，首先需要一个dp数组，假设dp[0....i - 1]都已经算出来了，然后问自己，怎么通过这些结果算出dp[i]?

　　dp[i]表示以nums[i]这个数结尾的最长递增子序列的长度。那么以nums[i]结尾的最长递增子序列起码要包含它自己，即要找到前面序列结尾比nums[i]小的子序列，然后把nums[i]拼接上去，就形成了以nums[i]结尾的新的子序列，并在前面子序列的基础上加1。

for j in range(0, i):
    if nums[i] > nums[j]:
        dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)

　　最长子序列，只需要对dp数组遍历一次，取最大值即可。

for i in range(n):
    res = max(res, dp[i])

3.2 二分搜索

　　二分搜索相对来说，难度大一些。以数组[10,9,2,5,3,7,101,18]为例，对其分堆。

　　首先10，对于第一个元素，单独为堆，此时堆数res = 1;

　　元素9，从0堆开始找，9小于10，放入0堆，res=1；

　　元素2，从0堆开始找，2小于9，放入0堆，res=1；

　　元素5，从0堆开始找，5大于2，此时只有堆0，那么需要再次创建一个堆来存放，res+=1，res=2；

　　元素3，从0堆开始找，3大于2，再找第1堆，3小于5，放入，res=2；

　　元素7，7大于2，7大于3，创建新堆，第2堆堆顶元素为7，res=3；

　　元素101，大于0，1，2堆顶元素，创建新堆，res=4；

　　元素18，大于0,1,2堆顶元素，放入第3堆，res=4；

　　输出结果：4（堆的个数就是最长子序列的长度，因为在后面堆里面一定能找到小于等于前面元素）。

4. Code实现

4.1 动态规划

class Solution:
    # 动态规划
    def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:
        if len(nums) <= 1:
            return len(nums)
        n = len(nums)
        dp, res = [1 for _ in range(n)], 0
        for i in range(n):
            for j in range(0, i):
                if nums[i] > nums[j]:
                    dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
            res = max(res, dp[i])
        return res

4.2 二分搜索

class Solution:
# 二分搜索
    def lengthOfLISB(self, nums: List[int]) -> int:
        n = len(nums)
        if n < 2:
            return n
        top = [0 for _ in range(n)]
        # 堆数
        res = 0
        for i in range(n):
            # 要处理的牌
            cur = nums[i]
            # 搜索左边界的二分搜索
            left, right = 0, res
            while left < right:
                mid = (left + right) // 2
                if top[mid] > cur:
                    right = mid
                elif top[mid] < cur:
                    left = mid + 1
                else:
                    right = mid
            # 没找到合适的堆，新建一堆
            if left == res:
                res += 1
            top[left] = cur
        return res

5. 结语

　　努力去爱周围的每一个人，付出，不一定有收获，但是不付出就一定没有收获！ 给街头卖艺的人零钱，不和深夜还在摆摊的小贩讨价还价。愿我的博客对你有所帮助(*^▽^*)(*^▽^*)！

　　如果客官喜欢小生的园子，记得关注小生哟，小生会持续更新(#^.^#)(#^.^#)。