12.经典动态规划:0-1背包问题
经典0-1背包问题
0-1背包问题
- 给你一个可装载重量为W的背包和N个物品,每个物品有重量和价值两个属性,其中第i个物品的重量为wt[i],价值为val[i],现在你用这个背包装物品,问最多能装的价值是多少
思路分析
这个题目中的物品不可以分割,要么装进包里,要么不装,不能说切成两块装一半。这也许就是 0-1 背包这个名词的来历。
动态规划标准套路
一步要明确两点,「状态」和「选择」。
先说状态,如何才能描述一个问题局面?只要给定几个可选物品和一个背包的容量限制,就形成了一个背包问题,对不对?所以状态有两个,就是「背包的容量」和「可选择的物品」。
再说选择,也很容易想到啊,对于每件物品,你能选择什么?选择就是「装进背包」或者「不装进背包」嘛。
明白了状态和选择,动态规划问题基本上就解决了,只要往这个框架套就完事儿了:
for 状态1 in 状态1的所有取值:
for 状态2 in 状态2的所有取值:
for ...
dp[状态1][状态2][...] = 择优(选择1,选择2...)
二步要明确dp
数组的定义。
dp
数组是什么?其实就是描述问题局面的一个数组。换句话说,我们刚才明确问题有什么「状态」,现在需要用dp
数组把状态表示出来。
首先看看刚才找到的「状态」,有两个,也就是说我们需要一个二维dp
数组,一维表示可选择的物品,一维表示背包的容量。
dp[i][w]
的定义如下:对于前i
个物品,当前背包的容量为w
,这种情况下可以装的最大价值是dp[i][w]
。
比如说,如果 dp[3][5] = 6,其含义为:对于给定的一系列物品中,若只对前 3 个物品进行选择,当背包容量为 5 时,最多可以装下的价值为 6。
根据这个定义,我们想求的最终答案就是****dp[N][W]
。base case 就是dp[0][..] = dp[..][0] = 0
,因为没有物品或者背包没有空间的时候,能装的最大价值就是 0。
细化上面的框架:
int dp[N+1][W+1]
dp[0][..] = 0
dp[..][0] = 0
for i in [1..N]:
for w in [1..W]:
dp[i][w] = max(
把物品 i 装进背包,
不把物品 i 装进背包
)
return dp[N][W]
三步,根据「选择」,思考状态转移的逻辑。
简单说就是,上面伪码中「把物品i
装进背包」和「不把物品i
装进背包」怎么用代码体现出来呢?
这一步要结合对*dp
数组的定义和我们的算法逻辑来分析:
先重申一下刚才我们的dp
数组的定义:
dp[i][w]
表示:对于前i
个物品,当前背包的容量为w
时,这种情况下可以装下的最大价值是dp[i][w]
。
如果你没有把这第i
个物品装入背包,那么很显然,最大价值dp[i][w]
应该等于dp[i-1][w]
。你不装嘛,那就继承之前的结果。
如果你把这第i
个物品装入了背包,那么dp[i][w]
应该等于dp[i-1][w-wt[i-1]] + val[i-1]
。
首先,由于i
是从 1 开始的,所以对val
和wt
的取值是i-1
。
而dp[i-1][w-wt[i-1]]
也很好理解:你如果想装第i
个物品,你怎么计算这时候的最大价值?换句话说,在装第****i
个物品的前提下,背包能装的最大价值是多少?
显然,你应该寻求剩余重量w-wt[i-1]
限制下能装的最大价值,加上第i
个物品的价值val[i-1]
,这就是装第i
个物品的前提下,背包可以装的最大价值。
综上就是两种选择,我们都已经分析完毕,也就是写出来了状态转移方程,可以进一步细化代码:
for i in [1..N]:
for w in [1..W]:
dp[i][w] = max(
dp[i-1][w],
dp[i-1][w - wt[i-1]] + val[i-1]
)
return dp[N][W]
最后一步,把伪码翻译成代码,处理一些边界情况。
我用 C++ 写的代码,把上面的思路完全翻译了一遍,并且处理了w - wt[i-1]
可能小于 0 导致数组索引越界的问题:
int knapsack(int W, int N, vector<int>& wt, vector<int>& val) {
// vector 全填入 0,base case 已初始化
vector<vector<int>> dp(N + 1, vector<int>(W + 1, 0));
for (int i = 1; i <= N; i++) {
for (int w = 1; w <= W; w++) {
if (w - wt[i-1] < 0) {
// 当前背包容量装不下,只能选择不装入背包
dp[i][w] = dp[i - 1][w];
} else {
// 装入或者不装入背包,择优
dp[i][w] = max(dp[i - 1][w - wt[i-1]] + val[i-1],
dp[i - 1][w]);
}
}
}
return dp[N][W];
}
原文地址:https://www.cnblogs.com/sjqbky/p/15019515.html
- React Native组件(一)组件的生命周期
- Spring Cloud构建微服务架构:服务消费(基础)【Dalston版】
- Android解析ClassLoader(一)Java中的ClassLoader
- Android学习笔记(一)之仿正点闹钟时间齿轮滑动的效果
- Android解析WindowManager(三)Window的添加过程
- Spring Cloud构建微服务架构:服务消费(Ribbon)【Dalston版】
- Android解析WindowManager(一)WindowManager体系
- ios9 http请求失败的问题
- Android内存优化(六)LeakCanary使用详解
- Spring Cloud构建微服务架构:服务消费(Feign)【Dalston版】
- React Native组件(四)TextInput组件解析
- struts2实现ajax校验的2种方法
- 单例对象
- Android+struts2+json方式模拟手机登录功能
- JavaScript 教程
- JavaScript 编辑工具
- JavaScript 与HTML
- JavaScript 与Java
- JavaScript 数据结构
- JavaScript 基本数据类型
- JavaScript 特殊数据类型
- JavaScript 运算符
- JavaScript typeof 运算符
- JavaScript 表达式
- JavaScript 类型转换
- JavaScript 基本语法
- JavaScript 注释
- Javascript 基本处理流程
- Javascript 选择结构
- Javascript if 语句
- Javascript if 语句的嵌套
- Javascript switch 语句
- Javascript 循环结构
- Javascript 循环结构实例
- Javascript 跳转语句
- Javascript 控制语句总结
- Javascript 函数介绍
- Javascript 函数的定义
- Javascript 函数调用
- Javascript 几种特殊的函数
- JavaScript 内置函数简介
- Javascript eval() 函数
- Javascript isFinite() 函数
- Javascript isNaN() 函数
- parseInt() 与 parseFloat()
- escape() 与 unescape()
- Javascript 字符串介绍
- Javascript length属性
- javascript 字符串函数
- Javascript 日期对象简介
- Javascript 日期对象用途
- Date 对象属性和方法
- Javascript 数组是什么
- Javascript 创建数组
- Javascript 数组赋值与取值
- Javascript 数组属性和方法
- Android 静默安装和卸载的方法
- Android自定义单例AlertDialog详解
- Android Build类的详解及简单实例
- Android使用CrashHandler来获取应用的crash信息的方法
- 数据魔术师小白零基础实现简单人脸识别
- Android编程实现XML解析与保存的三种方法详解
- 浅谈关于Android路由的实现
- Android中EditText禁止输入表情的实例代码
- Android仿微信右滑返回功能的实例代码
- 算法复现·推荐算法 | DeepFM for CTR Prediction
- Android 中Notification弹出通知实现代码
- Android编程实现添加低电流提醒功能的方法
- Android头像上传功能的实现代码(获取头像加剪切)
- Android自定义View画圆功能
- Android打包版本号设置方法