聚类方法

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• 聚类是什么
  • 针对给定的样本，依据它们特征的相似度或距离，将其归并到若干个类或簇的数据分析问题
• 聚类的目的
  • 通过得到的类或簇来发现数据的特点或对数据进行处理，在数据挖掘、模式识别等领域有着广泛的作用
• 聚类属于无监督学习
  • 根据相似度或距离划分，初始时多少类并不知道
• 聚类算法：
  • 层次聚类（hierarchical clustering）
    • 聚合法：自下而上，即开始时将每个样本各自分为一个类，之后将相距最近的两类合并，建立一个新的类，重复此操作直至满足条件，得到层次化的类别
    • 分裂法：自上而下，即开始时将所有样本归为一类，之后将已有的类中距离相距最远的样本分到两个新的类，重复此操作直至满足条件，得到层次化的类别
  • k均值聚类（k-means clustering）：基于中心的聚类，通过迭代，将样本分到 $ k $ 个类中，使得每个样本与其所属类的中心或均值最近，得到 $ k $ 个平坦的、非层次化的类别，构成对空间的划分

14.1 聚类的基本概念

14.1.1 相似度或距离

• 聚类的对象是观测数据或样本集合。假设有 $ n $ 个样本，每个样本有 $ m $ 个属性的特征向量组成。样本集合表示为:

  • 元素 $ x_{ij} $ 表示第 $ i $ 个样本第 $ j $ 个属性，\(i = 1 , 2 , ..., n, j = 1, 2, ..., m\)

• 聚类的核心概念是相似度或距离，有多种相似度或距离的定义。因为相似度直接影响聚类的结果，所以其选择是聚类的根本问题

闵可夫斯基距离

• 在聚类中，可以将样本集合想象成向量空间中的点，以该空间的距离表示样本之间的相似度

马哈拉诺比斯距离（马氏距离）

• 考虑各个分量(特征)之间的相关性并与各个分量的尺度无关

• 马氏距离越大相似度越小，距离越小相似度越大

相关系数

• 相关系数的绝对值越接近于1，表示样本越相似

• 相关系数的绝对值越接近于0，表示样本越不相似

夹角余弦

• 夹角余弦越接近于1，表示样本越相似

• 夹角余弦越接近于0，表示样本越不相似

14.1.2 类或簇

• 通过聚类得到的类或簇，本质是样本的子集

  • 硬聚类方法：一个聚类方法假定一个样本只能属于一个类，或类的交集为空集
  • 软聚类方法：一个聚类方法假定一个样本可以属于多个类，或类的交集不为空集

• 类的特征可以通过不同角度来刻画，常用的特征有下面三种

14.1.3 类与类之间的距离

14.2 层次聚类

聚合聚类算法

• 聚合聚类开始将每个样本各自分为一个类，之后将距离最近的两个类合并，建立一个新类，重复此操作直至满足停止条件，得到层次化的类别

• 具体步骤：

  • 输入：$ n $ 个样本组成的样本集合及样本之间的距离

  • 输出：对样本集合的一个层次化聚类

    1. 计算 $ n $ 个样本两两之间的欧氏距离 $ d_{ij} $ ，记作矩阵 $ D= [d_{ij}]_{n×n} $

    2. 构造 $ n $ 个类，每个类只包含一个样本

    3. 合并类间距离最小的两个类，其中最短距离为类间距离，构建一个新的类

    4. 计算新类与当前各类的距离，若类的个数为1，终止计算，否则回到(3)

  • 聚合层次聚类算法的复杂度为 $ O(n^3m) $ ，其中 $ m $ 是样本的维数，\(n\) 是样本个数

分裂聚类算法

• 分裂聚类算法开始将所有样本分为一个类，之后将已有类中距离最远的样本分到两个新类，重复此操作直至满足停止条件，得到层次化的类别
• 具体步骤：
  • 输入：$ n $ 个样本组成的样本集合及样本之间的距离
  • 输出：对样本集合的一个层次化聚类
    1. 计算 $ n $ 个样本两两之间的欧氏距离 $ d_{ij} $ ，记作矩阵 $ D= [d_{ij}]_{n×n} $
    2. 将样本集中的所有的样本归为一个类
    3. 在同一个类 $ c $ 中计算两两样本之间的距离，找出距离最远的两个样本 $ a $ 和 $ b $ ，之后将样本 $ a $ 和 $ b $ 分配到不同的类 $ c1 $ 和 $ c2 $ 中
    4. 计算原类 \(c\) 中剩余的其他样本点和 $ a $ 和 $ b $ 的距离，若是 $ distance(a)<distance(b) $ ，则将样本点归到 $ c1 $ 中，否则归到 $ c2 $ 中
    5. 重复步骤4直至达到聚类的数目或者达到设定的条件

14.3 $ k $ 均值聚类

• $ k $ 均值聚类将样本集合划分为 $ k $ 个子集，构成 $ k $ 个类，将 $ n $ 个样本分到 $ k $ 个类中，每个样本到其所属类的中心的距离最小
• k均值聚类属于硬聚类，每个样本属于一个类

14.3.1 模型

14.3.2 策略

• $ k $ 均值聚类的策略是通过损失函数最小化选取最优的划分或函数 $C^* $

• 采用欧氏距离平方作为样本之间的距离

• 定义样本与其所属类的中心之间的距离的总和为损失函数

• $k $ 均值聚类就是求解最优化问题：

  • 相似的样本被聚到同类时，损失函数值最小，这个目标函数的最优化能达到聚类的目的

• 该优化问题是 $ n $ 个样本分到 \(k\) 个类，所有可能分法数量：

  • 该数量是指数级的，采用迭代求解

14.3.3 算法

14.3.4 算法特性

• 总体特点
  • 基于划分的聚类算法
  • 类别数 \(k\) 事先指定
  • 以欧氏距离平方表示样本之间的距离，以中心或样本的均值表示类别
  • 以样本和其所属类的中心之间的距离的总和为最优化的目标函数
  • 得到的类别是平坦的、非层次化的
  • 算法是迭代算法，不能保证全局最优
• 收敛性
  • 启发式算法，无法保证全局最优
  • 初始中心点的选择会影响聚类结果
  • 类中心随着训练移动，但是移动不会太大，因为在每一步中，样本分到与其最近的中心的类中
• 初始类的选择
  • 选择不同的初始中心，会得到不同的聚类结果
  • 初始中心的先用层次聚类对样本进行聚类，得到 $ k $ 个类是停止
• **类别数 \(k\) 的选择 **
  • 尝试用不同的 \(k\) 值聚类
  • 一般而言，类别数变小时，平均直径会增加，类别数变大超过某一个值时，平均直径不变，即得到最优的 \(k\) 值

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