线性代数学习笔记（代数篇）

1.向量

高中必修一知识，以二维向量为例。

本章只选取了与代数有较大关联的内容，完整版见几何篇。

1.1向量的表示

也就是后文提到的列向量，表示为 \(\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}\)

1.2向量的运算

1.2.1点积

\[(a,b)\cdot (c,d)=ac+bd \]

描述为更符合线性代数的形式：

\[\begin{bmatrix} a&b\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} c\\ d\end{bmatrix} =ac+bd \]

1.2.2叉积

向量叉积与行列式有关。

\[\vec v\times \vec p={\rm det}\left (\begin{bmatrix} \vec i&v_1&p_1\\\vec j&v_2&p_2\end{bmatrix}\right) \]

2.矩阵

2.1一些概念

对于矩阵 \(A\) ：

主对角线：即 \(A_{i,i}\) 元素组成的集合。
单位矩阵：表示为 \(I\)，指主对角线中元素为1，其余元素为0的矩阵。
逆矩阵：满足 \(A\times A^{-1}=I\) 的矩阵 \(A^{-1}\)
矩阵的转置：记为 \(A^T\)，其中，\(A^T_{i,j}=A_{j,i}\)
行向量：1 行 \(n\) 列的矩阵。
列向量：\(n\) 行 1 列的矩阵。
\(n\) 阶方阵：\(n\times n\) 的矩阵 \(A_n\)
上/下三角矩阵：对角线下/上全为 0 的矩阵

2.2矩阵乘法

设 \(A\) 是大小 \(r\times m\) 的矩阵，\(B\) 是大小为 \(m\times c\) 的矩阵，令 \(C=A\times B\)，则

\[C_{i,j}=\sum_{k=1}^m A_{i,k}B_{k,j} \]

3.行列式

2.1bigformula定义

对于 \(n\) 阶方阵 \(A=(a_{i,j})\) ，定义

\[{\rm det}(A)=\sum_{\sigma\in S_n}{\rm sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^na_{i,\sigma(i)} \]
其中，\(S_n\) 是指长度为 \(n\) 的全体排列的集合，\(\sigma\) 是一个全排列，如果 \({\sigma}\) 的逆序对对数为偶数，则 \({\rm sgn}(\sigma)=1\)，否则 \({\rm sgn}(\sigma) = -1\)

简记为 \({\rm det}(A)=|A|\)

人话：从矩阵的每一行中挑出一个数累乘，每个数用一个与排列的逆序对相关的数作为系数。

2.2性质

以三阶行列式为例。

不需要死记硬背，建议从几何意义上理解

\(|I|=1\)
在行列式中，一行（列）元素全为0，则此行列式的值为0

\[\left|\begin{matrix}0&0&0\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\end{matrix}\right |=\left|\begin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&0\\a_{2,1}&a_{2,2}&0\\a_{3,1}&a_{3,2}&0\end{matrix}\right | = 0 \]
在行列式中，某一行（列）有公因子 \(k\)，则可以提出 \(k\)

\[\left|\begin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\ka_{2,1}&ka_{2,2}&ka_{2,3}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\end{matrix}\right |=k\left|\begin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\end{matrix}\right | \]
在行列式中，若某一行（列）的每个元素是两数之和，则可以拆分为两个相加的行列式

\[\left|\begin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,1}+b_{2,1}&a_{2,2}+b_{2,2}&a_{2,3}+b_{2,3}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\end{matrix}\right |=\left|\begin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\end{matrix}\right |+\left|\begin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\b_{2,1}&b_{2,2}&b_{2,3}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\end{matrix}\right | \]
在行列式中，两行（列）互换，行列式符号取反

\[\left|\begin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\end{matrix}\right |=-\left|\begin{matrix}a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\end{matrix}\right | \]
在行列式中，有两行（列）对应成比例，则行列式值为 0

\[\left|\begin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\ka_{2,1}&ka_{2,2}&ka_{2,3}\end{matrix}\right |=0 \]
在行列式中，将一行（列）的 \(k\) 倍加入另一行（列）中，行列式的值不变

\[\left|\begin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\end{matrix}\right |=\left|\begin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,1}+ka_{1,2}&a_{2,2}+ka_{1,2}&a_{2,3}+ka_{1,3}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\end{matrix}\right | \]
将行列式的行列互换，行列式的值不变，即

\[|A|=|A^{T}| \]
对于上三角矩阵

\[\left|\begin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\0&a_{2,2}&a_{2,3}\\0&0&a_{3,3}\end{matrix}\right |=a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3} \]
行列式乘法定理

\[{\rm det}(AB)={\rm det}(A){\rm det}(B) \]
特别地，当与常数 \(r\) 相乘时，有

\[{\rm det}(rA)={\rm det}(rI\cdot A)={\rm det}(rI){\rm det}(A)=r^n{\rm det}(A) \]

2.3求解行列式

对于 \(n\) 阶方阵 \(A\)，有

2.3.1定义法

直接按照定义式计算，时间复杂度 \(\Theta(n\cdot n!)\)

2.3.2高斯消元

通过 2.2 罗列的性质可知，行列式是可以进行消元操作的，因此可以通过高斯消元，将原矩阵简化为三角矩阵，时间复杂度 \(\Theta(n^3)\)。

2.3.3行列式展开

2.3.3.1代数余子式

将 \(A\) 的某些行与列去掉（假设去掉 \(i\) 行 \(j\) 列）之后所余下的方阵的行列式，其相应的方阵有时被称为余子阵，记为 \(M_{ij}\)

一个矩阵 \(A=(a_{i,j})\) 的代数余子式：\(C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\)

2.3.3.2Laplace展开

对于第 \(i\) 行，有 \({\rm det}(A)=\sum_{j=1}^na_{i,j}C_{ij}\)

对于第 \(j\) 列，有 \({\rm det}(A)=\sum_{i=1}^n a_{i,j}C_{ij}\)

2.3.3.3余因子矩阵、伴随矩阵与逆矩阵

矩阵 \({\rm cof}(A)=(C_{ij})_{i,j}\) 称作 \(A\) 在 \((i,j)\) 的余因子矩阵，即将 \(C_{ij}\) 摆在矩阵的第 \(i\) 行第 \(j\) 列。

\({\rm cof}(A)\) 的转置矩阵称为 \(A\) 的伴随矩阵，记为 \({\rm adj}(A)\)

如果矩阵 \(A\) 可逆，则 \(A^{-1}=\dfrac{{\rm adj}(A)}{{\rm det}(A)}=\dfrac{A^*}{|A|}\)，\(A^*\) 表示 \(A\) 的伴随矩阵。

2.4Cauchy-Binet公式

给定两个 \(n\times m\) 的矩阵，有

\[{\rm det}(AB^T)=\begin{cases}0&m<n\\ \sum_{1\leq i_1 < i_2<...<i_m\leq n}{\rm det}(A_{i_1,i_2,...,i_m}){\rm det}(B _{i_1,i_2,...,i_m})&m\ge n\end{cases} \]

其中 \(A_{i_1,i_2,...,i_m}\) 为 \(A\) 保留 \(i_1,i_2,...,i_m\) 列所得的矩阵。

2.3一些定理

2.3.1矩阵树定理

坑待补...

2.3.2LGV引理