13.经典动态规划:0-1背包的变体
子集切分问题(LeetCode 416 难度:中等)
描述
对于这个问题,看起来和背包没有任何关系,为什么说它是背包问题呢?
首先回忆一下背包问题大致的描述是什么:
给你一个可装载重量为W
的背包和N
个物品,每个物品有重量和价值两个属性。其中第i
个物品的重量为wt[i]
,价值为val[i]
,现在让你用这个背包装物品,最多能装的价值是多少?
那么对于这个问题,我们可以先对集合求和,得出sum
,把问题转化为背包问题:
给一个可装载重量为sum/2
的背包和N
个物品,每个物品的重量为nums[i]
。现在让你装物品,是否存在一种装法,能够恰好将背包装满?
你看,这就是背包问题的模型,甚至比我们之前的经典背包问题还要简单一些,下面我们就直接转换成背包问题,开始套前文讲过的背包问题框架即可。
解法分析
第一步要明确两点,「状态」和「选择」。
状态就是「背包的容量」
和「可选择的物品」
,选择就是「装进背包」
或者「不装进背包」
。
第二步要明确dp
数组的定义。
按照背包问题的套路,可以给出如下定义:
dp[i][j] = x
表示,对于前i
个物品,当前背包的容量为j
时,若x
为true
,则说明可以恰好将背包装满,若x
为false
,则说明不能恰好将背包装满。
比如说,如果dp[4][9] = true
,其含义为:对于容量为 9 的背包,若只是用前 4 个物品,可以有一种方法把背包恰好装满。
或者说对于本题,含义是对于给定的集合中,若只对前 4 个数字进行选择,存在一个子集的和可以恰好凑出 9。
根据这个定义,我们想求的最终答案就是dp[N][sum/2]
,base case 就是dp[..][0] = true
和dp[0][..] = false
,因为背包没有空间的时候,就相当于装满了,而当没有物品可选择的时候,肯定没办法装满背包。
第三步,根据「选择」,思考状态转移的逻辑。
回想刚才的dp
数组含义,可以根据「选择」对dp[i][j]
得到以下状态转移:
如果不把nums[i]
算入子集,或者说你不把这第i
个物品装入背包,那么是否能够恰好装满背包,取决于上一个状态dp[i-1][j]
,继承之前的结果。
如果把nums[i]
算入子集,或者说你把这第i
个物品装入了背包,那么是否能够恰好装满背包,取决于状态dp[i - 1][j-nums[i-1]]
。
首先,由于i
是从 1 开始的,而数组索引是从 0 开始的,所以第i
个物品的重量应该是nums[i-1]
,这一点不要搞混。
dp[i - 1][j-nums[i-1]]
也很好理解:你如果装了第i
个物品,就要看背包的剩余重量j - nums[i-1]
限制下是否能够被恰好装满。
换句话说,如果j - nums[i-1]
的重量可以被恰好装满,那么只要把第i
个物品装进去,也可恰好装满j
的重量;否则的话,重量j
肯定是装不满的。
最后一步,把伪码翻译成代码,处理一些边界情况。
以下是我的 C++ 代码,完全翻译了之前的思路,并处理了一些边界情况:
bool canPartition(vector<int>& nums) {
int sum = 0;
for (int num : nums) sum += num;
// 和为奇数时,不可能划分成两个和相等的集合
if (sum % 2 != 0) return false;
int n = nums.size();
sum = sum / 2;
vector<vector<bool>>
dp(n + 1, vector<bool>(sum + 1, false));
// base case
for (int i = 0; i <= n; i++)
dp[i][0] = true;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= sum; j++) {
if (j - nums[i - 1] < 0) {
// 背包容量不足,不能装入第 i 个物品
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
} else {
// 装入或不装入背包
dp[i][j] = dp[i - 1][j] | dp[i - 1][j-nums[i-1]];
}
}
}
return dp[n][sum];
}
原文地址:https://www.cnblogs.com/sjqbky/p/15019521.html
- JavaScript 教程
- JavaScript 编辑工具
- JavaScript 与HTML
- JavaScript 与Java
- JavaScript 数据结构
- JavaScript 基本数据类型
- JavaScript 特殊数据类型
- JavaScript 运算符
- JavaScript typeof 运算符
- JavaScript 表达式
- JavaScript 类型转换
- JavaScript 基本语法
- JavaScript 注释
- Javascript 基本处理流程
- Javascript 选择结构
- Javascript if 语句
- Javascript if 语句的嵌套
- Javascript switch 语句
- Javascript 循环结构
- Javascript 循环结构实例
- Javascript 跳转语句
- Javascript 控制语句总结
- Javascript 函数介绍
- Javascript 函数的定义
- Javascript 函数调用
- Javascript 几种特殊的函数
- JavaScript 内置函数简介
- Javascript eval() 函数
- Javascript isFinite() 函数
- Javascript isNaN() 函数
- parseInt() 与 parseFloat()
- escape() 与 unescape()
- Javascript 字符串介绍
- Javascript length属性
- javascript 字符串函数
- Javascript 日期对象简介
- Javascript 日期对象用途
- Date 对象属性和方法
- Javascript 数组是什么
- Javascript 创建数组
- Javascript 数组赋值与取值
- Javascript 数组属性和方法
- Android实现动态改变shape.xml中图形的颜色
- 解决android.support.v4.content.FileProvide找不到的问题
- 为Android系统添加config.xml 新配置的设置
- 浅析Android录屏 MediaRecorder
- 实用的网站开发工具导航源码,可以提高工作效率
- Github服务端和客户端完成本地代码上传至Github教程
- 一软在手截图无忧:ShareX截图神器-短小精悍功能完备 自动化任务可截动图截视频
- 使用SurfaceView实现视频弹幕
- 01 CentOS 7.6 切换系统语言
- Android双重SurfaceView实现弹幕效果
- SurfaceView播放视频发送弹幕并实现滚动歌词
- RecyclerView实现流式标签单选多选功能
- Android中AlertDialog四种对话框的最科学编写用法(实例代码)
- Android判断手机是否联网及自动跳转功能(收藏版)
- 使用Flutter实现一个走马灯布局的示例代码