Codeforces Round #732 (Div.1) 题解

实在是打击人信心的一场比赛啊……一不注意就掉了 50+ 分，rating 没了啊/ll/dk/wq/kk

A

Weak pretest!!!!!11 /fn/fn/fn

一个很显然的注意点是在交换前后，对于每一种数 \(c\) 而言，奇数位上的 \(c\) 中朝右的人数的奇偶性不会发生变化，偶数位上的 \(c\) 中朝右的人数的奇偶性也不会发生变化，因此我们只需检验排序前后奇偶位上数的组成是否相同即可，时间复杂度 \(Tn\log n\)。

现场降智选手，指我无疑了

B

首先根据手玩样例法可以发现 \(\dbinom{13}{5}=\dbinom{13}{8}=1287,\dbinom{13}{4}=\dbinom{13}{9}=715\)，因此考虑 \(5,8\)，以及后面的 \(4,9\) 是个什么东西，再通过瞪眼法可以发现 \(8\) 恰好是样例中 \(0\) 的个数，\(5\) 恰好是每个全 \(1\) 段中 \(1\) 的个数除以二下取整，于是写个组合数求一求即可。

证明？别问我，我什么也不知道

C

首先记目前没有确定是否被划分进集合的排列的集合为 \(S\)，那么我们枚举 \(S\) 中每一个排列 \(p\)，如果排列 \(p\) 中存在一个位置满足 \(S\) 中没有其他排列和它值相同，那么根据题目的性质显然它只能在前 \(n\) 个排列中，与此同时我们把与它有重复值的排列设为“不在前 \(n\) 个排列中”并从 \(S\) 中删去；否则根据抽屉原理，每个数在 \(S\) 对应的列中必须恰好出现了两次，这也就意味着那些在原拉丁方阵中的排列和不在原拉丁方阵中的排列是平分秋色的，都能和已经选出的排列集合组成拉丁方阵，此时我们需要将答案乘以 \(2\)，并随便选择一个排列设为在拉丁方阵中，并将与其存在重复值的排列从 \(S\) 中删除，重复以下步骤直到选出 \(n\) 个排列为止即可。

时间复杂度 \(n^3\)。

D

我们考虑求出每个排列所有时刻坐标的和 \(s1_i\) 以及平方和 \(s2_i\)，记 \(S=\sum\limits_{i=1}^mv_i,T=\sum\limits_{i=1}^mv_i^2\)，那么如果没有错误元素，一定有 \(s1_{i+1}-s1_i=S\)，由此可以确定错误元素所在的时刻 \(p\)，而根据第 \(j\) 个人 \(i\) 时刻的坐标为 \(x_{j}+i·v_j\) 可知，对于三个连续的时刻 \(t-1,t,t+1\)，有

\[\begin{cases} \sum\limits_{j=1}^m(x_j+(t-1)·v_j)^2=s2_{t-1}\\ \sum\limits_{j=1}^m(x_j+t·v_j)^2=s2_{t}\\ \sum\limits_{j=1}^m(x_j+(t+1)·v_j)^2=s2_{t+1} \end{cases} \]

一式加三式减两倍的二式，得

\[T=\dfrac{s2_{t-1}+s2_{t+1}-2s2_t}{2} \]

由此可以确定第 \(i\) 行所有坐标的和及平方和，这样我们枚举修改的元素是哪个，根据第 \(i\) 行坐标的和求出被改前的元素，并 check 平方和是否满足要求即可。

时间复杂度 \(nm\)。