路标设置

Problem

\(B\)市和\(T\)市之间有一条长长的高速公路，这条公路的某些地方设有路标，但是大家都感觉路标设得太少了，相邻两个路标之间往往隔着相当长的一段距离。为了便于研究这个问题，我们把公路上相邻路标的最大距离定义为该公路的“空旷指数”。现在政府决定在公路上增设一些路标，使得公路的“空旷指数”最小。他们请求你设计一个程序计算能达到的最小值是多少。

请注意，公路的起点和终点保证已设有路标，公路的长度为整数，并且原有路标和新设路标都必须距起点整数个单位距离。

Solution

像这样求最小值最大是多少的题大部分都是二分，这道题也给我们很强的提示这就是二分，那就不用说了，直接二分。

考虑check，明显可以把问题转化成空旷指数为\(k\)时要多少路标，然后看是不是小于等于可增加的路标数。

这就很简单了，如果两个路标之间大于等于了\(k\)就要修路标，注意两个路标尽可能离得远才是最优解，所以直接隔\(k\)，说白了就是装\((a_i-a_{i-1})/k\)个路标，注意一下当\((a_i-a_{i-1})\%k=1\)时多算了一个路标，所以我们在一开始计算使就直接\(-1\)就可以了。

时间复杂度为\(O(n\log n)\)。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[100007];
int n,m,k;
int check(int x)
{
    int sum=0;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
    	if(x<=a[i]-a[i-1])
            sum+=(a[i]-a[i-1]-1)/x;
	} 
    if(sum<=k)
    return true;
	return false;
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&m,&n,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    int l=1,r=m,ans;
    while(l<=r)
    {
        int mid=(l+r)/2;
        if(check(mid)==true)
        {
        	r=mid-1;//这里可能写的与别人不同，但实际上意思是一样的。
        	ans=mid;
		}       
        else
            l=mid+1;
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}