P4233-射命丸文的笔记【NTT,多项式求逆】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4233

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题目大意

随机选择一条有哈密顿回路的\(n\)个点的竞赛图，求选出图的哈密顿回路的期望个数。

对于每个\(n\in[1,N]\)求答案。

\(1\leq N\leq 10^5\)

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解题思路

竟然自己推出来了泪目( Ĭ ^ Ĭ )

如果是统计所以的哈密顿回路个数是一个很简单的题目，我们可以求出\(n\)的一个圆排列表示一条回路，然后剩下的边随便排即可。也就是\((n-1)!\times 2^{\frac{n(n-1)}{2}-n}\)条哈密顿路，但是因为求的是期望所以我们还得求出有哈密顿回路的竞赛图个数。

这个是问题所在，我们可以考虑用城市规划的推法，设\(f_i\)表示\(i\)个点有哈密顿回路的竞赛图个数。
那么有

\[2^{\frac{n(n-1)}2}=2\sum_{i=0}^{n-1}2^{\frac{i(i-1)}{2}}f_{n-i}\binom{n}{i} \]

但是注意\(n=0\)的时候要特别处理算出来为\(1\)。

化一下式子有

\[2^{\frac{n(n-1)}2}=2\sum_{i=0}^{n-1}2^{\frac{i(i-1)}{2}}f_{n-i}\frac{n!}{i!(n-i)!} \]

\[\frac{2^{\frac{n(n-1)}2}}{n!}=\sum_{i=0}^{n-1}\frac{2^{\frac{i(i-1)}{2}}}{i!}\frac{2f_{n-i}}{(n-i)!} \]

设\(F=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{2f_i}{i!},G=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{2^{\frac{i(i-1)}{2}}}{i!}\)，那么有

\[G=FG+1\Rightarrow F=\frac{G-1}{G} \]

上多项式求逆就可以求出\(f\)了。

时间复杂度\(O(n\log n)\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=131072,M=N<<1,P=998244353;
ll n,fac[M],G[M],H[M],r[M],tmp[M];
ll power(ll x,ll b){
	ll ans=1;
	while(b){
		if(b&1)ans=ans*x%P;
		x=x*x%P;b>>=1;
	}
	return ans;
}
void NTT(ll *f,ll n,ll op){
	for(ll i=0;i<n;i++)
		if(i<r[i])swap(f[i],f[r[i]]);
	for(ll p=2;p<=n;p<<=1){
		ll len=(p>>1),tmp=power(3,(P-1)/p);
		if(op==-1)tmp=power(tmp,P-2);
		for(ll k=0;k<n;k+=p){
			ll buf=1;
			for(ll i=k;i<k+len;i++){
				ll tt=buf*f[i+len]%P;
				f[i+len]=(f[i]-tt+P)%P;
				f[i]=(f[i]+tt)%P;
				buf=buf*tmp%P;
			}
		}
	}
	if(op==-1){
		ll invn=power(n,P-2);
		for(ll i=0;i<n;i++)
			f[i]=f[i]*invn%P;
	}
	return;
}
void GetInv(ll n,ll *f,ll *g){
	if(!n)
	{g[0]=power(f[0],P-2);return;}
	GetInv(n>>1,f,g);ll m=n<<1;
	for(ll i=0;i<n;i++)tmp[i]=f[i];
	for(ll i=0;i<m;i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?(m>>1):0);
	NTT(tmp,m,1);NTT(g,m,1);
	for(ll i=0;i<m;i++)
		g[i]=(2*g[i]-tmp[i]*g[i]%P*g[i]%P+P)%P;
	NTT(g,m,-1);
	for(ll i=n;i<m;i++)g[i]=0;
	return;
}
signed main()
{
	scanf("%lld",&n);fac[0]=1;
	for(ll i=1;i<N;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%P;
	for(ll i=0;i<N;i++)G[i]=power(2,i*(i-1)/2ll)*power(fac[i],P-2)%P;
	GetInv(N,G,H);G[0]--;
	NTT(G,M,1);NTT(H,M,1);
	for(ll i=0;i<M;i++)G[i]=G[i]*H[i]%P;
	NTT(G,M,-1);
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		if(i==1){puts("1");continue;}
		G[i]=G[i]*fac[i]%P;
		if(!G[i]){puts("-1");continue;}
		ll ans=fac[i-1]*power(2,i*(i-1)/2ll-i)%P;
		printf("%d\n",ans*power(G[i],P-2)%P);
	}
	return 0;
}