条件概率和事件的独立性

目录

• 条件概率
• 乘法公式
• 全概率公式
• 贝叶斯公式

条件概率

已知事件 \(B\) 发生的条件下事件 \(A\) 发生的概率，记作 \(P(A|B)\) 。

条件概率公式：

\[P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{p(B)} \]

注意：\(P(A|B)\) 和 \(P(B|A)\) 意义不一样。

栗题

题目大意

甲，乙两地下雨的概率分别为 \(20\%\) 和 \(18\%\) ，两地同时下雨的概率为 \(12\%\)

两地同时下雨的概率为 \(12 \%\) ，求甲地下雨时，乙地也下雨的概率。

solution

\(P(A) = 20\%, P(B) = 18\%, P(A\cap B) = 12\%\)

套公式算就好了。

乘法公式

乘法公式

由条件概率的计算公式 \(P(B|A) = \frac{P(BA)}{P(A)}\) 得：

\[P(BA) = P(A)P(B|A) \]

栗题

题目大意

某人忘记了电话号码的最后一位，求他尝试了两次都不对的概率。

solution 1

设 \(A\) 表示第一次没有拨对，\(B\) 表示第二次没有拨对。

显然 \(P(A) = \frac{9}{10}\) ，\(P(B|A) = \frac{8}{9}\) ，那么 \(P(AB) = P(A)P(B|A)\)

\(P(AB) = \frac{4}{5}\)

solution 2

可以用排列组合来求解：

问题可以转化为用 \(10\) 个数字排成数字不重复的两位数，求某个特定数字不出现的概率。

答案就是 \(\frac{A_9^2}{A_{10}^{2}} = \frac{4}{5}\)

全概率公式

栗题

甲乙两个人抽奖，甲先抽，问乙中奖的概率。

solution

设 \(A\) 表示甲中奖的概率，\(B\) 表示乙中奖的概率。

\(P(B) = P(AB + \overline{A}B) = P(BA) + P(\overline{A}B) = P(A)P(B|A) + P(\overline{A})P(B|\overline{A})\)

其中

\[P(B) = P(A)P(B|A) + P(\overline{A})P(B|\overline{A}) \]

为全概率公式。

应用

题目大意

有二十个人，抽二十张签，不放回，第一个人抽到 \(1\) 号签和后面的人抽到 \(1\) 号签的概率相同么。

solution

设 \(A_i\) 表示第 \(i\) 个人抽到 1 号，显然 \(P(A_1) = \frac{1}{20}, P(\overline{A_1}) = \frac{19}{20}\)

\(P(A_2|A_1) = 0, P(A_2 | \overline A_1) = \frac{1}{19}\)

那么

\[P(A_2) = P(A_1)P(A_2|A_1) + P(\overline A_1)P(A_2|\overline A_1) = \frac{1}{20} \]

所以是公平的。

推广

定理 若样本空间 \(\Omega\) 中的事件 \(A_1, A_2 \dots A_n\) 满足：

（1）任意两个事件均互斥，即 \(A_i A_j = \empty, i, j = 1, 2, \dots n, i\neq j\)

（2）\(A_1 + A_2 + \dots + A_n = \Omega\)

（3）\(P(A_i) > 0, i = 1, 2, \dots,n\)

则对 \(\Omega\) 中的任意事件 \(B\) ，都有 \(B = BA_1 + BA_2 + \dots BA_n\)， 且

\[P(B) = \sum_{i = 1}^{n} P(BA_i) = \sum_{i = 1}^{n} P(A_i)P(B|A_i) \]

该公式也叫全概率公式。

贝叶斯公式

已知 \(P(A), P(B|A), P(B|\overline A)\) 求 \(P(A|B)\)

由全概率公式和条件概率得到：

\(P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}\)

\(P(AB) = P(BA) = P(A)\times P(B|A)\)

\(P(B) = P(A)P(B|A) + P(\overline A) P(B|\overline A)\)

然后就得到了贝叶斯公式

\[P(A|B) = \frac{P(A)(B|A)}{P(B)} = \frac{P(A)(B|A)}{P(A)P(B|A) + P(\overline A) P(B|\overline A)} \]

扩展

若样本空间 \(\Omega\) 中的事件 \(A_1, A_2 \dots A_n\) 满足

（1）任意两个事件互斥，即 \(A_iA_j = \empty, i, j = 1, 2, n, i\neq j\)

（2）\(A_1 + A_2 + \dots + A_n = \Omega\)

（3）\(1> P(A_i) > 0, i = 1, 2, \dots, n\)

则对 \(\Omega\) 中任意概率非零的事件 \(B\) ，有

\[P(A_j|B) = \frac{P(A_j)P(B|A_j)}{P(B)} = \frac{P(A_j)(B|A_j)}{\sum_{i = 1}^{n} p(A_i)P(B|A_i)} \]