Game of Swapping Numbers —— 1G

Game of Swapping Numbers

题目描述

给定两个长度为\(n\)的排列A,B\(，最大化\)\(\sum_{i = 1}^n |A_i - B_i|\)，可以对\(A\)排列执行\(k\)次交换操作。

范围

\(n \leq 5 \times 10^5,0 \leq K \leq 10^8,-10^8 \leq A_i,B_i \leq 10^8\)

题解

以下是官方题解：

•最优解性质

​ 考虑任意一个最优解，我们把交换后的数字重新放回原来的位置，相当于为每一个元素分配了它在答案中的符号。比如 A={0, 3}, B = {1, 2}，最优解符号分配是 A={-0,+3}, B={-1,+2}。

考察符合要求的解符号分配规则，其实只要满足 A, B 中正号总和和负号总和相等，而 A、B 各自的正负号可以不一样。

​ 注意：有可能出现正负号和实际绝对值相反的情况，但是如果交换这一对正负号，只会使得解变优，所以在题目求最优的前提下，正负号是可以随意分配的。

假设我们能任意指定 k 来求最优解，相当于是把 A, B 合在一起排序，取最大的 n 个填正号，最小的 n 个填符号即可。

•最少步数得到最优解

​ 考虑每一对元素 \(A_i,B_i\)，若它们符号不同，则直接忽略这一对元素；否则，一对都是+的元素需要和一对都是-的元素进行交换才能尽快达到最优解。

•结论：n>2时，恰好 k 步与至多 k 步是等价的

​ 当 n>2 时，A 中一定至少存在两个 + 号或两个 - 号，此时如果我们交换这两个符号对应的数，则并不会使得原问题的解变得更劣。

​ n=2 需要特殊判断。

•求最优对换解

​ 考虑对于 A_i 和A_j，如果需要答案变优，则需要两个区间没有交，变优 2*[min(A_i,B_i) - max(A_j, B_j)]。

​ 将所有的 min(A_i, B_i) 和 max(A_i, B_i) 排序，依次取前 k 大相减取和即可。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 5e5 + 10;
int a[N];
int b[N];
#define ll long long
int read () {
	int q = 0,f = 1;
	char ch = getchar();
	while(!isdigit(ch)) {
		if(ch == '-')f = -1;
		ch = getchar();
	}
	while(isdigit(ch)) {
		q = q * 10 + ch - '0';
		ch = getchar();
	}
	return q * f;
}
bool cmp(int a,int b) {
	return a > b;
}
ll ans;

int main () {
	int n;int k;
	cin >> n >> k;
	for(int i = 1;i <= n; ++i) a[i] = read();
	for(int i = 1;i <= n; ++i) b[i] = read();
	for(int i = 1;i <= n; ++i) {
		if(a[i] < b[i]) swap(a[i],b[i]);
	}
	sort(a + 1,a + n + 1,cmp);
	sort(b + 1,b + n + 1,cmp);
	for(int i = 1,j = n;i <= n and k > 0; ++i) {
		if(a[j] < b[i]) swap(a[j],b[i]);
		j --;
		k --;
	}
	for(int i = 1;i <= n; ++i) {
		ans += abs(a[i] - b[i]);
	}
	cout << ans << endl;
	return 0;
}