线性代数-方阵的逆阵

方阵的定义：对于矩阵A_mn 当m=n时，A为方阵；

逆阵定义：对于方阵A，使得AB = I = BA，则B为A的逆阵。（I为单位矩阵）

定理：

A为可逆矩阵，则其逆阵唯一，用符号A^-1表示，记作： AA^-1 = I = A^-1A。

可逆矩阵为非退化矩阵，不存在逆阵的方阵为退化矩阵。

• 1、若A可逆则，A^-1可逆 且（A^-1）^-1 = A；
• 2、若k为实数且不等于0，则kA也可逆，且 (kA)^-1 = k^-1A^-1；
• 3、若A、B为同阶可逆矩阵，则AB也可逆，(AB)^-1 = B^-1A^-1；
• 4、若A可逆，则A'也可逆，(A')^-1 = (A^-1)'。

证1： 对于任意方阵A

根据逆阵的定义，存在矩阵B，使得AB = I 有：

 根据矩阵的乘法有:a+2b =1;c+2d = 0;3a+4b = 0,3c+4d = 1; a=-2、b=3/2、c=1、d=-1/2。即:

 则B为A 的逆阵，相同方法计算出B 的逆阵为：

 即（A^-1）^-1 = A。

证2：

对于任意方阵A 和实数k(k不等于0)，设k = 2则：

kA的逆阵有：

 k^-1A^-1为:

 则：(kA)^-1 = k^-1 A^-1

 证3：

设:

 证4：

 设：

    

即：(A')^-1 = (A^-1)'。